Fundamentos matemáticos da modulação de vibrações
Neste artigo, que é o terceiro de uma série, trata-se do tema de Fundamentos Matemáticos da Modulação de Vibrações, que tem um papel fundamental em diagnóstico por análise de vibrações em máquinas.
Os artigos sobre este tema já publicados foram:
1 Introdução à modulação de vibrações e envelope
2 História da modulação na análise de vibrações
3 Conceito de modulação e sua origem física
4.1 Introdução
A secção anterior demonstrou que a modulação é consequência direta da interação entre diferentes fenómenos mecânicos presentes numa máquina rotativa. Um defeito localizado, uma variação periódica da carga ou uma alteração da rigidez não geram apenas novas vibrações; alteram também as características de vibrações já existentes, redistribuindo a energia no espectro e originando bandas laterais.
Embora a origem da modulação seja física, a sua interpretação exige uma descrição matemática. É essa descrição que permite compreender por que motivo determinadas frequências aparecem no espectro, prever a posição das bandas laterais e desenvolver algoritmos capazes de identificar automaticamente defeitos em rolamentos, engrenagens, motores elétricos e outros componentes mecânicos.
A formulação matemática da modulação constitui, assim, a base da análise por envolvente, da análise cepstral, da análise cicloestacionária e de muitas técnicas modernas de diagnóstico.
Figura 4.1 – Relação entre o fenómeno físico e a representação matemática da modulação.
4.2 Representação de um sinal harmónico
Considere-se inicialmente uma vibração puramente sinusoidal produzida por um rotor perfeitamente equilibrado.
A vibração pode ser descrita por:
 | (4.1) |
onde:
- A é a amplitude;
- fc é a frequência da vibração (frequência portadora);
- t representa o tempo.
No domínio da frequência, este sinal corresponde a uma única linha espectral localizada em .
Na prática, esta situação é rara, uma vez que praticamente todas as máquinas apresentam pequenas variações de carga, velocidade, rigidez ou contacto entre superfícies.
Figura 4.2 – Relação entre um sinal sinusoidal puro e o respetivo espectro FFT.
4.3 Modulação em amplitude (AM)
Admita-se agora que a amplitude desta vibração varia lentamente devido à passagem periódica de um defeito.
O sinal passa a ser descrito por:
 | (4.2) |
onde:
- m é o índice de modulação;
- fm é a frequência moduladora.
Desenvolvendo esta expressão obtém-se:
 | (4. 3) |
Esta equação demonstra que a modulação em amplitude gera três componentes principais:
- frequência portadora fc;
- banda lateral inferior fc-fm;
- banda lateral superior fc+fm.
Este resultado constitui uma das relações fundamentais da análise de vibrações.
Figura 4.3 – Formação matemática das bandas laterais por modulação em amplitude.
4.4 Índice de modulação
O parâmetro m designa-se índice de modulação.
Fisicamente representa a intensidade com que o fenómeno mecânico altera a vibração portadora.
Quando:
- m=0, não existe modulação;
- 0<m<1, existe modulação parcial;
- m aproximadamente igual a 1, a modulação é intensa.
À medida que o defeito evolui, o índice de modulação tende a aumentar, provocando um crescimento progressivo da amplitude das bandas laterais.
Por esta razão, muitos algoritmos utilizam a evolução das bandas laterais como indicador da severidade do defeito.
Figura 4.4 – Influência do índice de modulação na amplitude das bandas laterais.
4.5 Modulação produzida por impactos
Os defeitos em rolamentos produzem impactos praticamente impulsivos.
Matematicamente, um impacto pode ser aproximado por uma função impulso de Dirac.
A resposta estrutural da máquina pode ser representada por:
 | (4.4) |
onde:
- fr representa a frequência de ressonância;
- alfa representa o amortecimento estrutural.
Cada impacto gera uma resposta amortecida.
A repetição periódica destes impactos conduz naturalmente à formação de um sinal modulado.
Esta descrição constitui o fundamento matemático da análise por envolvente.
Figura 4.5 – Resposta amortecida da estrutura após um impacto e formação do sinal de envolvente.
4.6 Modulação em frequência (FM)
Em determinadas máquinas, o defeito altera principalmente a frequência instantânea da vibração.
O sinal pode ser representado por:
 | (4.5) |
onde beta representa o índice de modulação em frequência.
Ao contrário da modulação em amplitude, a FM produz múltiplas bandas laterais distribuídas simetricamente em torno da portadora.
Este comportamento é particularmente frequente em:
- engrenagens;
- transmissões;
- sistemas sujeitos a variações periódicas da velocidade.
Figura 4.6 – Comparação entre modulação AM e FM e respetivos espectros.
A modulação em frequência produz teoricamente um número infinito de bandas laterais, situadas em f_c ± k·f_m com k = 1, 2, 3, …, cujas amplitudes são dadas pelas funções de Bessel de primeira espécie J_k(β), sendo β o índice de modulação em frequência. Na prática apenas as bandas com k inferior a cerca de β + 1 apresentam amplitude significativa, pelo que o número de bandas laterais observáveis cresce com o índice de modulação — ao contrário do que sucede na modulação em amplitude, onde esse número depende exclusivamente do conteúdo harmónico da moduladora.
4.7 Modulação em fase (PM)
Quando o defeito provoca pequenas variações periódicas da posição angular, a modulação ocorre na fase do sinal.
A expressão matemática é semelhante à da FM:
 | (4.6) |
onde Phi (t) representa a variação temporal da fase.
Na prática industrial, AM, FM e PM coexistem frequentemente, tornando o espectro significativamente mais complexo.
Com efeito, FM e PM constituem duas descrições do mesmo fenómeno — a modulação do argumento da função cosseno — diferindo apenas na relação entre o índice de modulação e a frequência moduladora: na FM o índice é inversamente proporcional a f_m, na PM é independente dela. A partir de um único registo, os dois mecanismos são praticamente indistinguíveis; a sua separação exige a observação do comportamento das bandas laterais em função da velocidade de rotação.
4.8 Relação entre modulação e análise por envolvente
A análise por envolvente pode ser interpretada matematicamente como um processo composto por três etapas:
- seleção de uma banda de frequências onde existe modulação;
- demodulação do sinal (por exemplo, através da transformada de Hilbert ou retificação seguida de filtragem);
- cálculo da FFT da envolvente.
O resultado é um espectro onde desaparece a frequência portadora e permanecem as frequências características do defeito.
Esta técnica aumenta significativamente a sensibilidade na deteção precoce de falhas.
Figura 4.7 – Etapas matemáticas da análise por envolvente: filtragem, demodulação e FFT da envolvente.
4.9 Limitações do modelo matemático
Os modelos apresentados assumem condições ideais, tais como:
- velocidade de rotação constante;
- linearidade estrutural;
- ausência de ruído;
- uma única frequência portadora.
As máquinas industriais reais apresentam frequentemente:
- múltiplas ressonâncias;
- velocidades variáveis;
- fenómenos não lineares;
- vários mecanismos de modulação em simultâneo.
Consequentemente, a interpretação dos espectros requer frequentemente técnicas mais avançadas, como a análise ordem-rastreada (análise por ordens), a análise cicloestacionária e métodos baseados em inteligência artificial.
4.10 Fundamentos Matemáticos da Modulação de Vibrações – Síntese
A formulação matemática demonstra que as bandas laterais não constituem artefactos do processamento digital, mas sim uma consequência inevitável da interação entre fenómenos periódicos presentes na máquina.
Compreender estas relações permite prever a posição das bandas laterais, interpretar corretamente os espectros de vibração e selecionar a técnica de processamento mais adequada para cada aplicação.
Os capítulos seguintes desenvolverão os métodos práticos de extração da informação modulada, abordando em detalhe a análise por envolvente, a transformada de Hilbert, a demodulação síncrona e outras técnicas avançadas de processamento de sinais aplicadas ao diagnóstico de máquinas rotativas.
5 Desmodulação e análise de envolvente
(continua)
