Fundamentos matemáticos de la modulación de vibraciones.
En este artículo, que es el cuarto de una serie, Este es el tema de Fundamentos matemáticos de la modulación de vibraciones., que juega un papel fundamental en el diagnóstico por análisis de vibraciones en máquinas.
Los artículos sobre este tema ya publicados fueron:
1 Introducción a la vibración y la modulación de envolvente.
2 Historia de la modulación en el análisis de vibraciones.
3 Concepto de modulación y su origen físico
4.1 introducción
El apartado anterior demostró que la modulación es una consecuencia directa de la interacción entre diferentes fenómenos mecánicos presentes en una máquina rotativa.. Un defecto localizado, una variación periódica de la carga o un cambio de rigidez no sólo genera nuevas vibraciones; También cambian las características de las vibraciones existentes., Redistribuir energía en el espectro y generar bandas laterales..
Aunque el origen de la modulación es físico, su interpretación requiere una descripción matemática. Es esta descripción la que nos permite entender por qué aparecen ciertas frecuencias en el espectro., predecir la posición de las bandas laterales y desarrollar algoritmos capaces de identificar automáticamente defectos en los rodamientos, engranajes, motores eléctricos y otros componentes mecánicos.
La formulación matemática de la modulación constituye, así, Residencia en análisis envolvente, de análisis cepstral, Análisis cicloestacionario y muchas técnicas de diagnóstico modernas..
Figura 4.1 – Relación entre el fenómeno físico y la representación matemática de la modulación.
4.2 Representación de una señal armónica.
Consideremos inicialmente una vibración puramente sinusoidal producida por un rotor perfectamente equilibrado..
La vibración se puede describir mediante:
donde:
- A es la amplitud;
- fc es la frecuencia de vibración (frecuencia portadora);
- t representa el tiempo.
En el dominio de la frecuencia, esta señal corresponde a una única línea espectral ubicada en fc.
En la práctica, esta situación es rara, ya que prácticamente todas las máquinas presentan pequeñas variaciones de carga, velocidad, rigidez o contacto entre superficies.
Figura 4.2 – Relación entre una señal sinusoidal pura y su espectro FFT.
4.3 Amplitud modulada (SOY)
Supongamos ahora que la amplitud de esta vibración varía lentamente debido al paso periódico de un defecto..
La señal ahora se describe por:
donde:
- m es el índice de modulación;
- fm es la frecuencia de modulación.
Desarrollando esta expresión obtenemos:
Esta ecuación demuestra que la modulación de amplitud genera tres componentes principales.:
- frecuencia portadora fc;
- banda lateral inferior fc-fm;
- banda lateral superior fc+fm.
Este resultado constituye una de las relaciones fundamentales del análisis de vibraciones..
Figura 4.3 – Formación matemática de bandas laterales por modulación de amplitud..
4.4 Índice de modulación
El parámetro m se llama índice de modulación..
Físicamente representa la intensidad con la que el fenómeno mecánico cambia la vibración del portador..
Cuando:
- metro=0, no hay modulación;
- 0<metro<1, hay modulación parcial;
- m aproximadamente igual a 1, la modulación es intensa.
A medida que el defecto evoluciona, el índice de modulación tiende a aumentar, provocando un aumento progresivo en la amplitud de las bandas laterales.
Por esta razón, Muchos algoritmos utilizan la evolución de las bandas laterales como indicador de la gravedad del defecto..
Figura 4.4 – Influencia del índice de modulación sobre la amplitud de las bandas laterales.
4.5 Modulación producida por impactos
Los defectos en los rodamientos producen impactos prácticamente impulsivos.
Matemáticamente, un impacto puede aproximarse mediante una función de impulso de Dirac.
La respuesta estructural de la máquina se puede representar por:
donde:
- fr representa la frecuencia de resonancia;
- alfa representa la amortiguación estructural.
Cada impacto genera una respuesta amortiguada..
La repetición periódica de estos impactos conduce naturalmente a la formación de una señal modulada..
Esta descripción constituye la base matemática del análisis de envolvente..
Figura 4.5 – Respuesta amortiguada de la estructura después de un impacto y formación de la señal envolvente..
4.6 Modulación de frecuencia (FM)
En ciertas máquinas, El defecto cambia principalmente la frecuencia instantánea de la vibración..
La señal se puede representar por:
donde β representa el índice de modulación de frecuencia.
A diferencia de la modulación de amplitud, FM produce múltiples bandas laterales distribuidas simétricamente alrededor de la portadora.
Este comportamiento es particularmente común en:
- engranajes;
- transmisiones;
- Sistemas sujetos a variaciones periódicas de velocidad..
Figura 4.6 – Comparación entre la modulación AM y FM y sus respectivos espectros.
La modulación de frecuencia produce teóricamente un número infinito de bandas laterales., ubicado en f_c ± k·f_m con k = 1, 2, 3, …, cuyas amplitudes están dadas por funciones de Bessel de primer tipo J_k(b), donde β es el índice de modulación de frecuencia. En la práctica, sólo las bandas con k menor que aproximadamente β + 1 presentar una amplitud significativa, por lo que el número de bandas laterales observables aumenta con el índice de modulación, a diferencia de lo que sucede en la modulación de amplitud., donde este número depende exclusivamente del contenido armónico del modulador.
4.7 Modulación de fase (P.M)
Cuando el defecto provoca pequeñas variaciones periódicas en la posición angular., La modulación se produce en la fase de la señal..
La expresión matemática es similar a la de FM.:
donde Qsi (t) representa la variación temporal de la fase.
En la práctica industrial, SOY, FM y PM a menudo coexisten, haciendo que el espectro sea significativamente más complejo.
En efecto, FM y PM constituyen dos descripciones del mismo fenómeno (la modulación del argumento de la función coseno) que difieren sólo en la relación entre el índice de modulación y la frecuencia moduladora.: en FM el índice es inversamente proporcional a f_m, en el PM es independiente de él. De un solo registro, Los dos mecanismos son prácticamente indistinguibles.; su separación requiere la observación del comportamiento de las bandas laterales en función de la velocidad de rotación.
4.8 Relación entre modulación y análisis de envolvente.
El análisis envolvente se puede interpretar matemáticamente como un proceso compuesto de tres pasos.:
- selección de una banda de frecuencia donde existe modulación;
- demodulación de señal (por ejemplo, a través de la transformada de Hilbert o rectificación seguida de filtrado);
- cálculo de FFT de envolvente.
El resultado es un espectro donde la frecuencia portadora desaparece y permanecen las frecuencias características del defecto..
Esta técnica aumenta significativamente la sensibilidad en la detección temprana de fallas..
Figura 4.7 – Pasos matemáticos del análisis por envolvente: filtración, demodulación de envolvente y FFT.
4.9 Limitaciones del modelo matemático.
Los modelos presentados asumen condiciones ideales., como:
- velocidad de rotación constante;
- linealidad estructural;
- ausencia de ruido;
- una sola frecuencia portadora.
Las máquinas industriales reales suelen tener:
- resonancias múltiples;
- velocidades variables;
- fenómenos no lineales;
- varios mecanismos de modulación simultáneamente.
consecuentemente, La interpretación de espectros generalmente requiere técnicas más avanzadas., cómo el análisis de seguimiento de pedidos (análisis de pedidos), Análisis cicloestacionario y métodos basados en inteligencia artificial..
4.10 Fundamentos matemáticos de la modulación de vibraciones – Síntesis
La formulación matemática demuestra que las bandas laterales no son artefactos del procesamiento digital., sino más bien una consecuencia inevitable de la interacción entre fenómenos periódicos presentes en la máquina.
Comprender estas relaciones le permite predecir la posición de las bandas laterales., Interpretar correctamente los espectros de vibración y seleccionar la técnica de procesamiento más adecuada para cada aplicación..
Los siguientes capítulos desarrollarán métodos prácticos para extraer información modulada., cubriendo en detalle el análisis por entorno, a transformada de Hilbert, Demodulación síncrona y otras técnicas avanzadas de procesamiento de señales aplicadas al diagnóstico de máquinas rotativas..
