Velocidades Críticas em Veios de Turbomáquinas

Este artigo aborda as velocidades críticas em veios de turbomáquinas, com foco nos fundamentos físicos do fenómeno, nos métodos de análise, nos critérios normativos e nas estratégias de mitigação.

1 · Introdução

Todas as máquinas rotativas têm velocidades a que não devem trabalhar. Quando a frequência de rotação coincide com uma frequência natural do sistema rotor–chumaceiras–fundação, a resposta às forças de desequilíbrio amplifica-se drasticamente: é a chamada velocidade crítica.

Compressores, turbinas a vapor e a gás, turbobombas e turbocompressores de automóveis partilham todos este problema, e a sua gestão constitui um dos pilares do projeto rotodinâmico. Este artigo percorre os fundamentos físicos do fenómeno, os métodos de análise, os critérios normativos aplicáveis e as estratégias de mitigação disponíveis ao projetista.

2 · O que é, na realidade, uma velocidade crítica

Um veio nunca é perfeitamente equilibrado. O centro de massa está sempre afastado do eixo geométrico de uma excentricidade e, tipicamente da ordem de alguns micrómetros. Ao rodar à velocidade angular ω, essa excentricidade gera uma força centrífuga F = m·e·ω² que roda solidária com o veio — uma excitação síncrona, cuja frequência é exatamente igual à velocidade de rotação.

A velocidade crítica ocorre quando essa excitação síncrona entra em ressonância com um modo natural de vibração lateral do rotor. Não é um limite de resistência do material nem uma «velocidade máxima»: é uma condição de amplificação dinâmica.

Figura 1 – O Rotor de Jeffcott a funcionar abaixo e acima da velocidade crítica.

Para o modelo mais simples — o rotor de Jeffcott/Laval, um disco a meio de um veio sem massa apoiado em dois apoios rígidos — a primeira velocidade crítica é dada por:

ω_c = √(k / m)          N_c = (30/π) · √(k / m)   [rpm]

com a rigidez de flexão do veio bi-apoiado dada por:

k = 48·E·I / L³          I = π·d⁴ / 64

A dependência é reveladora: a rigidez cresce com a quarta potência do diâmetro e cai com o cubo do comprimento. Um veio curto e grosso empurra as velocidades críticas para cima; um veio esbelto e com grande vão entre apoios traz a primeira crítica para dentro da gama de operação.

2.1 · A amplificação junto da ressonância

A resposta em amplitude r, normalizada pela excentricidade e, para um sistema com fator de amortecimento ζ e razão de frequências Ω = ω/ω_c, é:

r / e = Ω² / √[ (1 − Ω²)² + (2·ζ·Ω)² ]

Três regimes emergem deste resultado:

• Abaixo da crítica (Ω ≪ 1): a deflexão é pequena e o veio «segue» a força; o disco roda em torno do seu centro geométrico.
• Na crítica (Ω ≈ 1): a amplitude é limitada apenas pelo amortecimento, atingindo r/e ≈ 1/(2ζ). Com ζ = 0,02, isto significa uma amplificação de 25 vezes a excentricidade original.
• Acima da crítica (Ω ≫ 1): ocorre o fenómeno da auto-centragem — o rotor passa a rodar em torno do seu centro de massa e r/e → 1. É por esta razão que muitas máquinas de alta velocidade funcionam deliberadamente acima da primeira crítica.

O termo 1/(2ζ) é o fator de amplificação (AF), a grandeza que as normas usam para classificar a criticidade de um pico de ressonância.

Figura 2 — Curva de resposta ao desequilíbrio do Rotor de Jeffcott

3 · Rotores rígidos e rotores flexíveis

A distinção operacional mais importante no projeto separa dois tipos de rotor conforme o seu regime de funcionamento face à primeira velocidade crítica:

Tabela I – Rotores rígidos e rotores flexíveis

Classificação	Regime de funcionamento	Exemplos típicos
Rotor rígido	Abaixo da 1.ª velocidade crítica	Bombas centrífugas industriais, ventiladores, motores elétricos
Rotor flexível	Acima da 1.ª (por vezes da 2.ª) crítica	Turbinas a vapor, compressores centrífugos multiandar, turbobombas aeroespaciais

O rotor flexível obriga a atravessar a crítica durante o arranque e a paragem. Essa travessia é feita rapidamente, com aceleração suficiente para que a amplitude não tenha tempo de se estabelecer no valor de regime permanente — o transitório de arranque é, por isso, uma fase de projeto e de operação com regras próprias.

Figura 3 — Formas modais de um veio

4 · Métodos de estimativa preliminar

Antes de qualquer modelo de elementos finitos, duas aproximações clássicas continuam úteis na fase conceptual.

4.1 · Método de Dunkerley

Subestima a velocidade crítica, produzindo um resultado conservativo do lado da segurança inferior:

1 / ω_c²  ≈  Σ ( 1 / ω_i² )

4.2 · Método de Rayleigh

Sobrestima a velocidade crítica; baseia-se no quociente entre energias:

ω_c²  ≈  g · Σ (W_i · δ_i)  /  Σ (W_i · δ_i²)

onde

• W_isão os pesos concentrados
• δ_i as deflexões estáticas nos respetivos pontos.

Combinados, os dois métodos delimitam a velocidade crítica real por cima e por baixo, o que é suficiente para decisões de dimensionamento numa fase preliminar.

5 · Fatores que a análise simples ignora

A realidade de uma turbomáquina afasta-se muito do rotor de Jeffcott. Os efeitos seguintes são determinantes para o posicionamento e a severidade das velocidades críticas.

5.1 · Rigidez e amortecimento das chumaceiras

Numa chumaceira hidrodinâmica, o filme de óleo comporta-se como um conjunto de molas e amortecedores anisotrópicos e acoplados, descritos por oito coeficientes (k_xx, k_xy, k_yx, k_yy e os homólogos de amortecimento) que variam com a velocidade e a carga. A rigidez do suporte entra em série com a do veio, pelo que apoios flexíveis baixam a crítica — mas trazem também o amortecimento que limita o pico. Nas máquinas reais, o amortecimento das chumaceiras é a principal fonte de dissipação do sistema.

Figura 4 — Coeficientes dinâmicos da chumaceira

5.2 · Efeitos giroscópicos

Discos com momento de inércia polar significativo, montados em consola ou afastados dos apoios, geram momentos giroscópicos que fazem as frequências naturais variarem com a velocidade de rotação. Os modos separam-se em precessão direta, cuja frequência sobe com ω, e precessão retrógrada, que desce. Deixa de existir «uma» frequência natural: existe uma família de frequências dependentes da velocidade.

Figura 5 — Precessão direta versus retrógrada

5.3 · Fundação e carcaça

Uma fundação pouco rígida, uma base de betão degradada ou chumaceiras mal apertadas alteram a velocidade crítica do conjunto instalado face à do rotor calculado isoladamente.

5.4 · Rigidez assimétrica e fissuras

Rasgos de chaveta, secções não circulares ou uma fissura em propagação introduzem rigidez dependente do ângulo, gerando excitação a 2× a rotação e zonas de instabilidade paramétrica.

6 · O diagrama de Campbell

Como as frequências naturais dependem da velocidade, a ferramenta de síntese é o diagrama de Campbell: frequência natural no eixo vertical, velocidade de rotação no eixo horizontal. As frequências naturais aparecem como curvas — ascendentes para precessão direta, descendentes para precessão retrógrada — e as excitações como retas radiais: a reta 1× para o desequilíbrio, 2× para desalinhamento, N_b× para a passagem de pás.

Cada interseção entre uma curva de frequência natural e uma reta de excitação é uma velocidade crítica potencial. O objetivo do projeto rotodinâmico é garantir que nenhuma dessas interseções se situe dentro da gama de funcionamento contínuo.

Figura 6 — Diagrama de Campbell simplificado sem considerar efeitos giroscópicos.

Na figura seguinte apresenta-se o diagrama de Campbell considerando a separação entre precessão direta e precessão retrógrada.

Figura 7 — Diagrama de Campbell tomando em conta a precessão direta e a retrógrada resultante dos efeitos giroscópicos.

6.1 · Fluxo de análise rotodinâmica

O processo típico de verificação encadeia os seguintes passos:

1. Reunir a geometria do rotor, as massas concentradas e as propriedades dos materiais.
2. Construir o modelo de elementos finitos do veio, incorporando os coeficientes dinâmicos das chumaceiras e a rigidez da fundação e da carcaça.
3. Efetuar a análise modal amortecida em função da velocidade e traçar o diagrama de Campbell.
4. Verificar as margens de separação; se forem insuficientes, redimensionar diâmetro, vão ou tipo de chumaceira e repetir.
5. Realizar a análise de resposta ao desequilíbrio e confirmar que o AF é aceitável e que as amplitudes cabem dentro das folgas.
6. Se necessário, acrescentar amortecimento (squeeze film dampers, chumaceiras de patins oscilantes) e repetir a análise de resposta.
7. Concluir com a análise de estabilidade (decremento logarítmico) e validar o projeto.

7 · Critérios normativos

A referência da indústria é a API 684, que suporta os requisitos rotodinâmicos das normas de equipamento — API 612 para turbinas a vapor, API 617 para compressores centrífugos e API 610 para bombas. Os princípios essenciais são os seguintes.

7.1 · Margens de separação

Uma velocidade crítica deve situar-se pelo menos 15% abaixo da velocidade mínima de operação contínua ou 20% acima da velocidade máxima contínua. Nas máquinas de velocidade variável, o requisito aplica-se a toda a gama de funcionamento.

Figura 8 — Margens de separação entre velocidades críticas e gama de funcionamento

7.2 · Critério do fator de amplificação

O amortecimento pode dispensar a margem de separação quando é suficiente para achatar o pico de ressonância:

Tabela II -Amortecimento e margem de separação

Fator de amplificação (AF)	Interpretação	Margem de separação exigida
AF < 2,5	Criticamente amortecido	Não aplicável
2,5 ≤ AF < 3,55	Amortecimento moderado	Margem reduzida
AF ≥ 3,55	Pouco amortecido	Margem completa (−15% / +20%)

7.3 · Resposta ao desequilíbrio e estabilidade

Simula-se a resposta a desequilíbrios normalizados colocados nos pontos mais desfavoráveis para cada modo, verificando que a amplitude vibratória permanece dentro de uma fração da folga diametral das chumaceiras e vedantes. Verifica-se ainda o decremento logarítmico dos modos em precessão direta; um valor negativo indica auto-excitação e um rotor instável, independentemente das velocidades críticas.

7.4 · Ressonância forçada versus instabilidade

Vale a pena separar dois conceitos frequentemente confundidos. A velocidade crítica é uma ressonância forçada, com amplitude limitada pelo amortecimento e proporcional ao desequilíbrio. A instabilidade rotodinâmica — oil whirl, oil whip, whirl induzido por vedantes ou por atrito interno — é uma auto-excitação subsíncrona, tipicamente a cerca de 0,42–0,48× a rotação, que cresce até ao contacto e não depende do desequilíbrio. Equilibrar melhor o rotor não resolve uma instabilidade.

8 · Medição e verificação experimental

O modelo é validado em máquina real por três vias complementares.

• Ensaio de arranque e paragem com analisadores multicanal. Sondas de proximidade (eddy current) montadas em pares ortogonais junto às chumaceiras registam o deslocamento do veio ao longo da rampa de velocidade. Os dados são apresentados em diagramas de Bode — amplitude e fase da componente 1× em função da velocidade — e em diagramas polares/Nyquist. A assinatura inequívoca de uma crítica é o pico de amplitude acompanhado de uma inversão de fase de aproximadamente 180°; a fase é o indicador mais fiável, mais do que a amplitude isolada.

Figura 9 — Diagrama de Bode na passagem pela velocidade crítica

• Ensaio de impacto. Realizado com a máquina parada, permite identificar as frequências naturais do conjunto instalado, incluindo carcaça e fundação.

• Cascata espetral (waterfall). Separa a componente síncrona das componentes subsíncronas e harmónicas, distinguindo uma ressonância de uma instabilidade em desenvolvimento.

Figura 10 — Órbitas e cascata espectral.

9 · Estratégias de mitigação

Quando a análise revela uma velocidade crítica mal posicionada, as opções agrupam-se em três famílias.

9.1 · Deslocar a frequência natural

Aumentar o diâmetro do veio, reduzir o vão entre apoios, acrescentar um apoio intermédio, ou alterar a massa e a posição dos impulsores. Alterar a rigidez das chumaceiras — passar de casquilho cilíndrico a patins oscilantes, ou modificar a folga e a pré-carga — desloca a crítica sem tocar no veio.

9.2 · Acrescentar amortecimento

Os amortecedores de filme comprimido (squeeze film dampers) em série com as chumaceiras são a solução clássica em turbinas aeronáuticas: reduzem o fator de amplificação a valores que dispensam margens de separação e permitem atravessar críticas com amplitudes controladas. As chumaceiras magnéticas ativas oferecem rigidez e amortecimento programáveis em tempo real.

9.3 · Reduzir a excitação

O equilíbrio de precisão — em múltiplos planos e à velocidade de serviço, em máquina de balanceamento de alta rotação — não elimina a velocidade crítica, mas reduz proporcionalmente a amplitude na sua passagem. Complementarmente, controla-se o alinhamento, os empenos térmicos e as folgas.

Na operação, restringe-se ainda a permanência em bandas de velocidade proibidas, programando o sistema de controlo para atravessar essas zonas com rampas rápidas e nunca estabilizar nelas.

10 · Velocidades Críticas em Veios de Turbomáquinas – Conclusão

A gestão das velocidades críticas não se resolve com uma fórmula. Envolve o cálculo das frequências naturais dependentes da velocidade, a caracterização dos coeficientes dinâmicos dos apoios, a verificação das margens de separação face à gama operacional, a quantificação da resposta ao desequilíbrio e a confirmação da estabilidade dos modos.

A regra prática que atravessa todo o processo é simples de enunciar e exigente de cumprir: projetar para que nenhuma ressonância mal amortecida coincida com uma velocidade de funcionamento contínuo, e garantir que as que têm de ser atravessadas o sejam depressa e com amortecimento suficiente.

Um aspeto que merece atenção crescente é o das máquinas de velocidade variável acionadas por variadores de frequência: ao alargarem a gama operacional, tornam muito mais difícil encontrar uma janela limpa entre velocidades críticas, e transformam o amortecimento — mais do que o posicionamento das frequências — na variável de projeto decisiva.

Referências

1. API Technical Report 684-1 (1ª edição, novembro de 2019) — API Standard Paragraphs Rotordynamic Tutorial: Lateral Critical Speeds, Unbalance Response, Stability, Train Torsionals, and Rotor Balancing, American Petroleum Institute. Documento de referência que descreve e esclarece os parágrafos-padrão da API sobre rotordinâmica lateral e torsional e o programa de aceitação de equilibragem de rotores, com material de base sobre os fundamentos do tema (incluindo terminologia) e a modelação de rotor utilizada nesta análise.
2. ISO 20816-1:2016 — Mechanical vibration — Measurement and evaluation of machine vibration — Part 1: General guidelines, International Organization for Standardization. Estabelece as condições e procedimentos gerais para a medição e avaliação de vibração em partes rotativas, não-rotativas e não-alternantes de máquinas completas, aplicando-se à vibração de veio tanto absoluta como relativa.
3. Bently, D. E.; Hatch, C. T.; Grissom, B. (ed.) — Fundamentals of Rotating Machinery Diagnostics, ASME Press, 2002. Livro de referência que explica e desmistifica os conceitos fundamentais para o diagnóstico eficaz de avarias em máquinas rotativas, cobrindo fundamentos de vibração, fase e vetores de vibração; gráficos de diagnóstico (timebase, Bode, polar, órbita, espectro); rotordinâmica (modelo de rotor, rigidez dinâmica, modos de vibração, análise de estabilidade); e avarias como desequilíbrio, desalinhamento e instabilidade induzida por fluido.
4. Genta, G. — Dynamics of Rotating Systems, Springer, 2005. Define formalmente as velocidades críticas como as velocidades de rotação às quais a frequência de uma das forças de excitação coincide com uma das frequências naturais do sistema, identificáveis no diagrama de Campbell pela interseção das curvas de frequência natural com as curvas de frequência de excitação — distinguindo-se claramente das velocidades a que ocorre instabilidade, que não devem ser confundidas com velocidades críticas.