Absorsor Dinâmico

Este artigo trata do tema de Sistemas Mecânicos com 2 Graus de Liberdade e o Absorsor Dinâmico. A compreensão deste assunto é essencial para os técnicos que se dedicam Análisis de vibraciones.

1. introducción

Os sistemas mecânicos com dois graus de liberdade constituem uma extensão fundamental dos sistemas de um grau de liberdade e permitem compreender fenómenos dinâmicos que não podem ser adequadamente descritos considerando apenas uma massa e um movimento independente. A introdução de uma segunda massa, ligada à primeira através de elementos elásticos e/ou dissipativos, origina fenómenos de acoplamento, modos próprios de vibração, anti-ressonâncias e transferência de energia entre os diferentes componentes do sistema.

Uma das aplicações mais importantes deste conceito é o absorsor dinâmico de vibrações, ou absorsor de vibração sintonizado. Este dispositivo utiliza uma massa auxiliar, normalmente ligada à estrutura principal através de uma mola e, em algumas configurações, de um amortecedor, para reduzir significativamente a vibração de um sistema submetido a uma excitação periódica.

O princípio é particularmente importante em estruturas, equipamentos industriais e sistemas sujeitos a forças periódicas. Em vez de tentar aumentar indefinidamente a rigidez ou o amortecimento da estrutura principal, o absorsor dinâmico introduz deliberadamente uma segunda dinâmica no sistema, de forma a controlar a resposta vibratória.

Nomenclatura

A tabela seguinte resume os símbolos utilizados ao longo deste artigo.

Símbolo	Significado
m₁	Massa da estrutura/máquina principal
m₂	Massa auxiliar do absorsor dinâmico
k₁, c₁	Rigidez e amortecimento entre a base fixa e m₁
k₂, c₂	Rigidez e amortecimento entre m₁ e m₂ (absorsor)
x₁(t), x₂(t)	Deslocamentos instantâneos de m₁ e m₂
F(t), F₀	Força de excitação aplicada a m₁, e respetiva amplitude
ω	Frequência angular de excitação
ωₙ	Frequência natural do sistema de 1 GDL, √(k₁/m₁)
ωₐ	Frequência natural do absorsor, √(k₂/m₂)
ω₁, ω₂	frecuencias naturales (modos propios) do sistema de 2 GDL, com ω₁ < ω₂
μ	Razão de massas, m₂/m₁
ζ₂	Razão de amortecimento do absorsor
r	Razão de frequências, ω/ωₙ ou ω/ωₐ, consoante o contexto

2. Sistema mecânico de um grau de liberdade

Antes de analisar o sistema de dois graus de liberdade, considere-se uma massa m₁, ligada a uma mola de rigidez k₁ e a um amortecedor c₁, submetida a uma força harmónica:

F(t) = F₀ sin(ωt)

A equação de movimento é:

m₁ ẍ₁ + c₁ ẋ₁ + k₁ x₁ = F₀ sin(ωt)

Na ausência de amortecimento, a frequência natural do sistema é:

ωₙ = √(k₁/m₁)

Quando a frequência de excitação se aproxima de ωₙ, ocorre o fenómeno de resonancia, caracterizado por um aumento significativo da amplitude de vibração.

Este comportamento constitui o problema que o absorsor dinâmico procura resolver.

Figura 1 – Sistema mecânico de 1 grau de liberdade e respetiva resposta em frequência

3. Introdução do segundo grau de liberdade

Considere-se agora uma segunda massa m₂, ligada à massa principal m₁ através de uma mola k₂ e de um amortecedor c₂.

O sistema passa a possuir dois deslocamentos independentes:

x₁(t) e x₂(t)

correspondentes aos movimentos das massas m₁ e m₂.

A configuração básica pode ser representada por:

Base – (k₁,c₁) – m₁ – (k₂,c₂) – m₂

A massa m₁ representa a estrutura ou máquina principal, enquanto m₂ constitui a massa auxiliar do absorsor.

As equações diferenciais do movimento são:

m₁ẍ₁ + c₁ẋ₁ + k₁x₁ + c₂(ẋ₁−ẋ₂) + k₂(x₁−x₂) = F₀ sin(ωt)

m₂ẍ₂ + c₂(ẋ₂−ẋ₁) + k₂(x₂−x₁) = 0

Estas duas equações mostram uma característica essencial: os movimentos das duas massas estão acoplados.

O movimento da massa principal influencia a massa auxiliar e, simultáneamente, a massa auxiliar exerce uma força dinâmica sobre a massa principal.

Figura 2 – Sistema mecânico de 2 graus de liberdade e respetiva resposta em frequência

4. Matriz de massa, amortecimento e rigidez

A formulação matricial permite representar o sistema de forma compacta:

M ẍ + C ẋ + K x = F(t)

com:

x = [x₁ x₂]ᵀ

m = [[m₁, 0], [0, m₂]]

C = [[c₁+c₂, −c₂], [−c₂, c₂]]

K = [[k₁+k₂, −k₂], [−k₂, k₂]]

A representação matricial é particularmente importante porque constitui a base da análise modal de sistemas mecânicos com múltiplos graus de liberdade.

5. Modos próprios de vibração

Um sistema com dois graus de liberdade possui, en general, duas frequências naturais e dois modos próprios de vibração.

Na ausência de amortecimento e de forças externas:

M ẍ + Kx = 0

Assumindo uma solução harmónica:

x = φe^(jωt)

obtém-se:

(K − ω²M)φ = 0

Para existir uma solução não trivial:

det(K − ω²M) = 0

Esta equação fornece duas frequências naturais:

ω₁ e ω₂

com:

ω₁ < ω₂

Cada frequência está associada a um modo próprio e a uma forma específica de movimento relativo entre as duas massas.

Cada modo próprio corresponde a um vetor próprio (razão fixa entre as amplitudes x₁/x₂) e a uma frequência própria (valor próprio) del sistema. Qualquer vibração livre do sistema, por mais complexa que pareça, pode ser escrita como uma combinação linear destes dois modos.

Modo 1 — simétrico (em fase), ω₁ (frequência mais baixa) As setas por cima de m₁ e m₂ apontam no mesmo sentido e têm o mesmo comprimento: as duas massas oscilam em uníssono, com a mesma amplitude e a mesma fase. Como a mola central k₂ praticamente não se deforma (a distância entre m₁ e m₂ mantém-se quase constante), este modo tem a frequência natural mais baixa.

Modo 2 — antissimétrico (oposição de fase), ω₂ (frequência mais alta) As setas apontam em sentidos opostos: quando m₁ se move para um lado, m₂ move-se para o lado contrário. Aqui a mola de acoplamento k₂ é a que mais se deforma, qué “endurece” o modo e resulta numa frequência natural mais alta.

Figura 3 — Modos próprios de um sistema com 2 GDL

6. Acoplamento dinâmico

O aspeto fundamental de um sistema de dois graus de liberdade é o acoplamento dinâmico.

Quando a massa principal começa a vibrar, a massa auxiliar não permanece necessariamente estacionária. Por lo contrario, desenvolve um movimento próprio determinado pela frequência de excitação e pelas características de m₂, k₂ e c₂.

A energia vibratória pode, por lo tanto, ser transferida da massa principal para a massa auxiliar.

Este fenómeno constitui a base física do absorsor dinâmico.

Em determinadas condições, a massa auxiliar pode desenvolver uma força dinâmica sobre a massa principal que se opõe à força de excitação. O resultado pode ser uma redução muito significativa da amplitude de vibração da estrutura principal.

Figura 4 – Acoplamento dinâmico num sistema com 2GL

O sistema acoplado
A massa principal m₁, apoiada em k₁ mi c₁ sobre um apoio fixo, sujeita à força de excitação externa F(t). Sobre m₁ está montada a massa auxiliar m₂, ligada por k₂ mi c₂ — os três parâmetros que, determinam “o movimento próprio” que m₂ desenvolve quando m₁ começa a vibrar. Duas anotações traduzem diretamente as ideias-chave do texto: Uno seta curva a roxo, tracejada, sai do interior de m₁ e entra em m₂, rotulada “transferência de energia vibratória” — representa a energia que passa da massa principal para a auxiliar através do acoplamento k₂/c₂. A seta F₂ (rojo), no topo de m₁, aponta em sentido oposto a F(t) (laranja) — representa a força dinâmica que m₂ desenvolve sobre m₁, “que se opõe à força de excitação”, como diz o texto.

A consequência prática
Um gráfico de amplitude X₁ em função da frequência ω compara duas situações: A curva cinzenta tracejada (“sem absorsor”) mostra um único pico de ressonância alto — o comportamento da massa principal isolada, sem m₂. A curva verde sólida (“com absorsor”) mostra a mesma faixa de frequências, mas com dois picos mais baixos e um vale profundo exatamente em ω = ω₂ (a frequência de sintonia do absorsor) — a assinatura clássica do acoplamento dinâmico funcionando: nessa zona, a amplitude de m₁ cai drasticamente.

7. O absorsor dinâmico

Um absorsor dinâmico convencional é constituído por:

• uma massa auxiliar m₂;
• uma mola k₂;
• eventualmente um amortecedor c₂.

A sua frequência natural própria é aproximadamente:

ωₐ = √(k₂/m₂)

O princípio de funcionamento consiste em sintonizar esta frequência com a frequência de excitação que se pretende atenuar.

tan:

ωₐ ≈ ω_exc

Quando esta condição é satisfeita, a massa auxiliar entra numa condição de movimento particularmente eficaz para gerar uma força dinâmica de oposição sobre a massa principal.

Princípio do absorsor dinâmico	Fotografia de um absorsor dinâmico aplicado numa tubagem para reduzir vibrações

Figura 5 – O absorsor dinâmico

8. Como ocorre a redução da vibração?

Considere-se uma estrutura sujeita a uma força periódica:

F(t) = F₀ sin(ωt)

Sem absorsor, a resposta da estrutura pode apresentar uma grande amplitude quando:

ω ≈ ωₙ

Ao instalar um absorsor sintonizado, introduz-se uma segunda frequência natural no sistema.

Em vez de existir uma única região de ressonância dominante, o sistema passa a apresentar duas frequências naturais próximas da frequência de sintonia do absorsor.

Entre estas duas frequências surge uma anti-ressonância, na qual o movimento da massa principal pode ser teoricamente reduzido a zero no caso ideal não amortecido e com sintonia perfeita.

Este é um dos resultados mais importantes da teoria dos absorsores dinâmicos.

9. Anti-ressonância

A anti-ressonância é particularmente interessante porque corresponde a uma frequência na qual a resposta da massa principal apresenta um mínimo muito pronunciado.

Físicamente, a força transmitida pelo absorsor apresenta uma componente que se opõe à força de excitação.

Pode interpretar-se o fenómeno através do equilíbrio dinâmico:

F_excitação + F_absorsor ≈ 0

mi, consecuentemente,

x₁ ≈ 0

Embora a massa principal apresente uma amplitude muito pequena, a massa auxiliar pode apresentar uma amplitude relativamente elevada.

Isto significa que o absorsor não elimina a energia vibratória. Ele modifica o caminho através do qual essa energia é armazenada e transferida no sistema.

Figura 6 – A colocação do absorsor dinâmico gera uma anti-ressonância

10. Relação entre ressonância e anti-ressonância

A resposta em frequência de um sistema com absorsor apresenta, típicamente, a seguinte sequência:

ressonância → anti-ressonância → ressonância

O sistema que originalmente possuía uma ressonância dominante passa a apresentar duas ressonâncias separadas por uma região de resposta muito reduzida.

Esta característica é frequentemente designada por divisão da ressonância (resonance splitting).

O objetivo do projeto do absorsor é posicionar adequadamente estas frequências e controlar a amplitude máxima da resposta.

Apenas a massa principal m₁, apoiada em k₁ e c₁ sobre a base fixa. Como o sistema está em ressonância e não há nada a contrariar a excitação, m₁ oscila com amplitude muito grande — visualmente o bloco sobe e desce quase até tocar a seta F(t) e quase até ao chão.

A mesma massa m₁, mas agora com a massa auxiliar m₂ montada por cima, ligada por k₂ e c₂. Sob a mesma F(t), m₁ mal se mexe (oscilação quase impercetível), enquanto m₂ oscila com amplitude grande, en fase de oposición — quando F(t) empurra para baixo, m₂ sobe, e vice-versa. É essa oscilação de m₂, transmitida de volta a m₁ através da mola k₂, que gera a força que cancela F(t) e mantém a estrutura principal quase parada.

Figura 7 – O absorsor dinâmico em funcionamento

11. Absorsor dinâmico não amortecido

No modelo ideal, considera-se:

c₂ = 0

A resposta pode apresentar uma anti-ressonância extremamente profunda quando o absorsor está perfeitamente sintonizado.

sin embargo, este sistema apresenta uma limitação importante: a eficácia é muito dependente da frequência de excitação.

Se a frequência da máquina se afastar da frequência de sintonia:

ω_exc ≠ ωₐ

a eficiência do absorsor diminui.

consecuentemente, um absorsor não amortecido é particularmente adequado para aplicações nas quais a frequência de excitação é praticamente constante.

12. Absorsor dinâmico amortecido

En la práctica, pode introduzir-se um amortecedor:

c₂ > 0

O amortecimento altera a resposta do sistema e reduz a sensibilidade do absorsor a variações da frequência de excitação.

Existe, sin embargo, um compromisso de projeto.

• Um amortecimento demasiado baixo produz uma região de elevada eficácia muito estreita.
• Um amortecimento excessivo pode reduzir a profundidade da anti-ressonância.

O projeto deve, por lo tanto, procurar um valor de amortecimento que permita obter uma redução adequada da resposta numa determinada banda de frequências.

Figura 8 – A influência do amortecimento do absorsor dinâmico

12.1 Sintonia e amortecimento ótimos (método dos pontos fixos)

Para um absorsor amortecido (c₂ > 0) montado sobre uma estrutura principal não amortecida (c₁ = 0), a teoria clássica dos absorsores dinâmicos — desenvolvida por J. PAG. Den Hartog — mostra que existe uma combinação ótima entre a razão de sintonia e a razão de amortecimento do absorsor que minimiza a amplitude máxima da massa principal, para uma dada razão de massas μ = m₂/m₁.

A razão de sintonia ótima é:

f_opt = ωₐ/ωₙ = 1 / (1 + μ)

o sea, o absorsor deve ser ligeiramente dessintonizado para uma frequência um pouco abaixo de ωₙ. A razão de amortecimento ótima correspondente é:

ζ₂,opt = √[ 3μ / (8(1+μ)³) ]

e a amplitude adimensional máxima que a massa principal ainda assim atinge, nos dois picos que restam, es:

(X₁k₁/F₀)_max = √(1 + 2/μ)

Estas expressões definem os chamados “pontos fixos” da resposta em frequência: dois pontos da curva de amplitude que, por propriedade da função de transferência, têm sempre a mesma amplitude, qualquer que seja o valor de ζ₂. O amortecimento ótimo é precisamente aquele que faz esses dois pontos fixos coincidirem com os dois máximos locais da curva de resposta — a condição ilustrada no painel C (“amortecimento ótimo”) de la figura 8.

Note-se que estas fórmulas assumem c₁ = 0; em sistemas com amortecimento estrutural significativo na massa principal, os valores ótimos devem ser obtidos por otimização numérica.

13. Razão de massas

Um parâmetro importante no projeto de um absorsor é a razão de massas:

μ = m₂/m₁

Quanto maior for a massa auxiliar relativamente à massa principal, maior tende a ser a capacidade do absorsor para modificar a resposta dinâmica do sistema.

sin embargo, aumentar m₂ implica penalizações de massa, espacio, estrutura de suporte e custos.

Por eso, na engenharia prática procura-se obter a maior redução possível utilizando uma massa auxiliar compatível com as restrições físicas da aplicação.

Figura 9 – A influência na amplitude da vibração da razão de massas (µ=m₂/metro₁) do absorsor dinâmico

14. Sintonia do absorsor

A condição básica de sintonia é:

ωₐ = √(k₂/m₂)

Se a frequência de excitação pretendida for conhecida:

ω_exc = 2π f_exc

então pode selecionar-se a rigidez através de:

k₂ = m₂ω_exc²

Esta equação mostra que, escolhida a massa auxiliar, a rigidez necessária pode ser calculada diretamente.

15. Interpretação energética

Uma forma particularmente útil de compreender o absorsor dinâmico consiste em analisar a energia.

1. A força de excitação introduz energia no sistema.
2. Sem absorsor, uma parte significativa dessa energia pode ser armazenada e dissipada através da dinâmica da estrutura principal, conduzindo a grandes amplitudes de vibração.
3. Com o absorsor instalado, parte da energia é transferida para a massa auxiliar.
4. O sistema passa a distribuir a energia entre m₁ e m₂.
5. A massa auxiliar pode apresentar grandes movimentos, enquanto a massa principal permanece com amplitude reduzida.

tan, o absorsor funciona como um reservatório dinâmico de energia vibratória.

16. Limitações do absorsor dinâmico

Apesar da sua elevada eficácia, um absorsor dinâmico convencional apresenta algumas limitações.

• Dependência da frequência: um absorsor sintonizado para uma determinada frequência pode perder eficácia quando a velocidade da máquina varia significativamente.
• Grandes amplitudes da massa auxiliar: na região de sintonia, a massa auxiliar pode apresentar amplitudes superiores às da estrutura principal. É necessário garantir que existe espaço físico suficiente para o seu movimento.
• Alteração das frequências naturais: a instalação do absorsor modifica as características dinâmicas do sistema original.
• Sensibilidade à temperatura e envelhecimento: em sistemas que utilizam elementos elastoméricos ou outros componentes cuja rigidez varia com a temperatura, a frequência de sintonia pode deslocar-se.
• Necessidade de manutenção: elementos mecânicos, molas, amortecedores e componentes de ligação podem sofrer desgaste.

17. Absorsores de banda larga

Quando a máquina funciona numa gama significativa de velocidades, um absorsor de frequência fixa pode não ser suficiente.

Nestas situações podem utilizar-se:

• absorsores amortecidos;
• múltiplos absorsores;
• absorsores de massa sintonizada;
• absorsores pendulares;
• absorsores adaptativos;
• absorsores semiativos;
• absorsores com frequência variável.

A utilização de vários absorsores permite distribuir a ação de controlo por diferentes frequências.

18. Absorsores adaptativos

Nos sistemas modernos, o absorsor pode ter uma frequência de sintonia variável.

Se a frequência de excitação da máquina variar de f₁ para f₂, o sistema de controlo pode modificar a rigidez efetiva ou outras propriedades do absorsor para manter:

fₐ ≈ fexc

Esta abordagem é particularmente interessante em máquinas de velocidade variável.

Pode ser utilizada em sistemas nos quais a frequência dominante de excitação acompanha a velocidade de rotação.

19. Exemplo conceptual

Considere-se uma tubagem com: m₁ = 1000 kg

e uma frequência de excitação: fexc = 20 hz

Pretende-se utilizar um absorsor com: m₂ = 50 kg

A frequência angular de excitação é:

ω_exc = 2π(20) ≈ 125,66 rad/s

Para sintonia ideal:

k₂ = m₂ω_exc²

resultando aproximadamente:

k₂ = 50(125,66)² ≈ 790 kN/m

O absorsor possui, así, uma frequência natural próxima dos 20 hz.

Este exemplo evidencia uma característica importante: uma massa auxiliar relativamente pequena pode modificar significativamente a resposta dinâmica da estrutura principal quando está corretamente sintonizada.

19.1 Extensão do exemplo: amortecimento ótimo do absorsor

Continuando o exemplo anterior, a razão de massas é μ = m₂/m₁ = 50/1000 = 0,05 (5%). Aplicando as fórmulas da secção 12.1:

f_opt = 1/(1+0,05) ≈ 0,952

ζ₂,opt = √[3(0,05) / (8(1,05)³)] ≈ 0,127 (12,7%)

Tomando ωₐ ≈ ωexc = 125,66 rad/s (a sintonia nominal calculada na secção 19), o amortecimento ótimo correspondente do absorsor é aproximadamente:

c₂,opt = 2ζ₂,opt m₂ωₐ ≈ 2(0,127)(50)(125,66) ≈ 1,60 kN·s/m

e a amplitude adimensional máxima que a massa principal ainda apresentaria nos dois picos da resposta ótima seria:

(X₁k₁/F₀)_max = √(1 + 2/0,05) = √41 ≈ 6,40

Este resultado é revelador: o absorsor não amortecido (sección 11) pode anular x₁ exatamente na frequência de sintonia, mas essa anti-ressonância é “afiada” e frágil a qualquer desvio de ω_exc. O absorsor com amortecimento ótimo troca esse zero perfeito por um comportamento muito mais robusto — a amplitude máxima fica limitada a cerca de 6,4 vezes a deflexão estática em toda a gama de frequências relevante, e não apenas num único ponto.

20. Absorsor dinâmico versus aumento da rigidez

Uma questão importante no projeto é saber se é preferível aumentar a rigidez da estrutura ou instalar um absorsor.

Aumentar a rigidez altera a frequência natural:

ωₙ = √(k/m)

e pode deslocar a ressonância para fora da zona de operação.

O absorsor, por otro lado, procura controlar a resposta sem necessariamente alterar drasticamente a estrutura principal.

tan:

• Aumento da rigidez: deslocar a ressonância.
• Absorsor dinâmico: controlar a resposta na região de interesse.

En muchos casos, a segunda solução pode ser mais simples e economicamente mais favorável.

21. Absorsor dinâmico versus aumento do amortecimento

Outra estratégia consiste em aumentar o amortecimento da estrutura.

O amortecimento reduz a amplitude da ressonância, mas pode exigir materiais, dispositivos ou alterações estruturais significativas.

O absorsor dinâmico utiliza outro mecanismo:

transferência de energia + interferência dinâmica

Pode, por lo tanto, produzir uma redução muito elevada da vibração numa frequência específica.

A escolha entre amortecimento estrutural e absorção dinâmica depende da largura de banda necessária, frequência de operação, espaço disponível, massa admissível e estabilidade das condições de operação.

Uma terceira alternativa, não desenvolvida em detalhe neste artigo, é o isolamento de vibração: em vez de modificar a resposta dinâmica da própria estrutura, interpõe-se um elemento resiliente (mola e/ou amortecedor) entre a máquina e a fundação, reduzindo a força transmitida ao exterior. Ao contrário do absorsor dinâmico — que atua sobre a amplitude de vibração da própria massa principal —, o isolamento atua sobre a transmissibilidade da força para a estrutura de suporte. As duas estratégias são complementares, e não concorrentes: em muitas aplicações práticas são utilizadas em conjunto.

22. Sistemas Mecânicos com 2 Graus de Liberdade e o Absorsor Dinâmico – conclusión

Os sistemas mecânicos com dois graus de liberdade constituem um dos modelos fundamentais da dinâmica estrutural e da análise de vibrações. A introdução de uma segunda massa permite compreender fenómenos como acoplamento modal, transferência de energia, divisão de ressonâncias e anti-ressonâncias.

O absorsor dinâmico constitui uma aplicação direta destes princípios. Através da introdução de uma massa auxiliar, uma mola e, cuando necesario, um amortecedor, é possível modificar deliberadamente a resposta dinâmica de uma máquina ou estrutura.

A ideia central não é simplesmente “eliminar” a força de excitação, mas criar uma dinâmica adicional capaz de gerar uma resposta que se oponha à vibração da estrutura principal.

Em condições de sintonia adequada, a amplitude da massa principal pode ser drasticamente reduzida, mesmo quando a força de excitação permanece praticamente inalterada.

tan, o estudo dos sistemas de dois graus de liberdade não é apenas uma etapa académica da teoria das vibrações: constitui uma ferramenta prática para projetar, diagnosticar e controlar sistemas mecânicos reais, estabelecendo a ligação entre a análise modal e as modernas técnicas de controlo passivo e adaptativo de vibrações.

Resumo de fórmulas

Grandeza	Fórmula
Frequência natural (1 GDL)	ωₙ = √(k₁/m₁)
Frequência natural do absorsor	ωₐ = √(k₂/m₂)
Condição de sintonia	ωₐ ≈ ωexc ⇒ k₂ = m₂ωexc²
Razão de massas	μ = m₂/m₁
Razão de sintonia ótima	f_opt = ωₐ/ωₙ = 1/(1+μ)
Amortecimento ótimo do absorsor	ζ₂,opt = √[3μ / (8(1+μ)³)]
Amplitude máxima (ótima)	(X₁k₁/F₀)_max = √(1+2/μ)
Frequências próprias (2 GDL)	det(K − ω²M) = 0 → ω₁, ω₂

referencias

Den Hartog, J. PAG. (1956). Mechanical Vibrations (4.ª ed.). McGraw-Hill.

Rao, S. S. (2011). Mechanical Vibrations (5.ª ed.). Prentice Hall.

Inman, D. J. (2014). Engineering Vibration (4.ª ed.). Pearson.

Kelly, S. GRAMO. (2012). Mechanical Vibrations: Theory and Applications. Cengage Learning.