Absorbedor dinámico

Este artículo trata el tema de Sistemas Mecánicos con 2 Grados de libertad y el absorbente dinámico. Comprender este tema es fundamental para los técnicos que se dedican a Análisis de vibraciones.

1. introducción

Los sistemas mecánicos con dos grados de libertad constituyen una extensión fundamental de los sistemas con un grado de libertad y nos permiten comprender fenómenos dinámicos que no pueden describirse adecuadamente considerando únicamente una masa y un movimiento independientes.. La introducción de una segunda masa., conectado al primero a través de elementos elásticos y/o disipativos, provoca fenómenos de acoplamiento, propios modos de vibración, antirresonancias y transferencia de energía entre los diferentes componentes del sistema.

Una de las aplicaciones más importantes de este concepto es el amortiguador dinámico de vibraciones., o amortiguador de vibraciones sintonizado. Este dispositivo utiliza una masa auxiliar., normalmente conectado a la estructura principal a través de un resorte y, en algunas configuraciones, de un amortiguador, Reducir significativamente la vibración de un sistema sometido a excitación periódica..

El principio es particularmente importante en estructuras., Equipos y sistemas industriales sujetos a fuerzas periódicas.. En lugar de intentar aumentar indefinidamente la rigidez o amortiguación de la estructura principal, El amortiguador dinámico introduce deliberadamente una segunda dinámica en el sistema., para controlar la respuesta vibratoria.

Nomenclatura

La siguiente tabla resume los símbolos utilizados a lo largo de este artículo..

Símbolo	Significado
metro₁	Masa de estructura/máquina principal
m₂	Masa auxiliar del amortiguador dinámico
k₁, c₁	Rigidez y amortiguación entre la base fija y m₁
k₂, c₂	Rigidez y amortiguación entre m₁ y m₂ (absorbente)
x₁(t), x₂(t)	Desplazamientos instantáneos de m₁ y m₂
F(t), F₀	Fuerza de excitación aplicada a m₁, y amplitud respectiva
ω	Frecuencia angular de excitación
ωₙ	Frecuencia natural del sistema. 1 GDL, √(k₁/m₁)
ωₐ	Frecuencia natural del absorbente., √(k₂/m₂)
ω₁, ω₂	frecuencias naturales (modos propios) del sistema 2 GDL, es ω₁ < ω₂
metro	relación de masa, m₂/m₁
g₂	Relación de amortiguación del absorbente
r	relación de frecuencia, ω/ωₙ o ω/ωₐ, dependiendo del contexto

2. Sistema mecánico de un grado de libertad.

Antes de analizar el sistema de dos grados de libertad, considere una masa m₁, conectado a un resorte de rigidez k₁ y un amortiguador c₁, sometido a una fuerza armónica:

F(t) = F₀ pecado(ωt)

La ecuación del movimiento es:

m₁ẍ₁ + c₁ẋ₁ + k₁ x₁ = F₀ pecado(ωt)

En ausencia de amortiguación, la frecuencia natural del sistema es:

ωₙ = √(k₁/m₁)

Cuando la frecuencia de excitación se acerca a ωₙ, el fenómeno de resonancia, caracterizado por un aumento significativo en la amplitud de la vibración.

Este comportamiento constituye el problema que el absorbente dinámico busca solucionar..

Figura 1 – sistema mecanico de 1 grado de libertad y respectiva respuesta de frecuencia

3. Introducción del segundo grado de libertad.

Consideremos ahora una segunda masa m₂, conectado a la masa principal m₁ a través de un resorte k₂ y un amortiguador c₂.

El sistema ahora tiene dos desplazamientos independientes.:

x₁(t) e x₂(t)

correspondiente a los movimientos de las masas m₁ y m₂.

La configuración básica se puede representar por:

Base - (k₁,c₁) – metro₁ – (k₂,c₂) – m₂

La masa m₁ representa la estructura o máquina principal., mientras que m₂ constituye la masa auxiliar del absorbente.

Las ecuaciones diferenciales del movimiento son:

m₁ẍ₁ + c₁ẋ₁ + k₁x₁ + c₂(ẋ₁−ẋ₂) + k₂(x₁−x₂) = F₀ pecado(ωt)

m₂ẍ₂ + c₂(ẋ₂−ẋ₁) + k₂(x₂−x₁) = 0

Estas dos ecuaciones muestran una característica esencial: los movimientos de las dos masas están acoplados.

El movimiento de la masa principal influye en la masa auxiliar y, simultáneamente, la masa auxiliar ejerce una fuerza dinámica sobre la masa principal.

Figura 2 – sistema mecanico de 2 grados de libertad y respuesta de frecuencia respectiva

4. matriz de masa, amortiguación y rigidez

La formulación matricial permite representar el sistema de forma compacta.:

Mẍ + Cẋ + K x = F(t)

com:

x = [x₁ x₂]ᵀ

m = [[metro₁, 0], [0, m₂]]

C = [[c₁+c₂, −c₂], [−c₂, c₂]]

k = [[k₁+k₂, −k₂], [−k₂, k₂]]

La representación matricial es particularmente importante porque forma la base del análisis modal de sistemas mecánicos con múltiples grados de libertad..

5. Modos de vibración propios

Un sistema con dos grados de libertad tiene, en general, dos frecuencias naturales y dos modos de vibración.

En ausencia de amortiguación y fuerzas externas.:

Mẍ + Kx = 0

Suponiendo una solución armónica:

x = φe^(jωt)

obtienes:

(K − ω²M)ϕ = 0

Para que exista una solución no trivial:

el(K − ω²M) = 0

Esta ecuación da dos frecuencias naturales.:

ω₁ y ω₂

com:

ω₁ < ω₂

Cada frecuencia está asociada a su propio modo y a una forma específica de movimiento relativo entre las dos masas..

Cada modo propio corresponde a un vector propio (relación fija entre amplitudes x₁/x₂) y en su propia frecuencia (valor propio) del sistema. Cualquier vibración libre del sistema., por muy complejo que parezca, se puede escribir como una combinación lineal de estos dos modos.

Forma 1 - simétrico (en fase), ω₁ (frecuencia más baja) Las flechas sobre m₁ y m₂ apuntan en la misma dirección y tienen la misma longitud: las dos masas oscilan al unísono, con la misma amplitud y la misma fase. Como el resorte central k₂ prácticamente no se deforma (la distancia entre m₁ y m₂ permanece casi constante), este modo tiene la frecuencia natural más baja.

Forma 2 - antisimétrico (oposición de fase), ω₂ (mayor frecuencia) Las flechas apuntan en direcciones opuestas: cuando m₁ se mueve hacia un lado, m₂ se mueve hacia el lado opuesto. Aquí el resorte de acoplamiento k₂ es el que más se deforma, qué “endurece” el modo e da como resultado una frecuencia natural más alta.

Figura 3 — Modos específicos de un sistema con 2 GDL

6. Acoplamiento dinámico

El aspecto fundamental de un sistema de dos grados de libertad es el acoplamiento dinámico..

Cuando la masa principal comienza a vibrar, la masa auxiliar no necesariamente permanece estacionaria. Por lo contrario, desarrolla su propio movimiento determinado por la frecuencia de excitación y las características del m₂, k₂ y c₂.

La energía vibratoria puede, por lo tanto, ser transferido de la masa principal a la masa auxiliar.

Este fenómeno constituye la base física del absorbente dinámico..

Bajo ciertas condiciones, la masa auxiliar puede desarrollar una fuerza dinámica sobre la masa principal que se opone a la fuerza de excitación. El resultado puede ser una reducción muy significativa en la amplitud de vibración de la estructura principal..

Figura 4 – Acoplamiento dinámico en un sistema con 2GL

El sistema acoplado
la masa principal metro₁, apoyado en k₁ mi c₁ sobre un soporte fijo, sujeto a una fuerza de excitación externa F(t). La masa auxiliar está montada en m₁ m₂, vinculado por k₂ mi c₂ — los tres parámetros que, determinar “el movimiento mismo” que m₂ se desarrolla cuando m₁ comienza a vibrar. Dos anotaciones traducen directamente las ideas clave del texto.: Uno flecha curva morada, discontinuo, sale del interior de m₁ y entra en m₂, etiquetado “transferencia de energía vibratoria” — representa la energía que pasa de la masa principal a la masa auxiliar a través del acoplamiento k₂/c₂. Para configurar F₂ (rojo), no topo de m₁, apunta en dirección opuesta a F(t) (naranja) — representa la fuerza dinámica que m₂ desarrolla sobre m₁, “que se opone a la fuerza de excitación”, como dice el texto.

La consecuencia práctica
Una gráfica de amplitud X₁ en función de la frecuencia ω compara dos situaciones: la curva gris discontinuo (“sin absorbente”) muestra un único pico de alta resonancia: el comportamiento de la masa principal aislada, ni m₂. la curva verde sólida (“con absorbente”) muestra el mismo rango de frecuencia, pero con dos picos más bajos y un valle profundo exactamente en ω = ω₂ (la frecuencia de sintonización del amortiguador) — la firma clásica del acoplamiento dinámico en el trabajo: en esa zona, a amplitude de m₁ cai drasticamente.

7. El absorbente dinámico

Un absorbente dinámico convencional consta de:

• una masa auxiliar m₂;
• un resorte de k₂;
• posiblemente un amortiguador c₂.

Su propia frecuencia natural es aproximadamente:

ωₐ = √(k₂/m₂)

El principio de funcionamiento consiste en sintonizar esta frecuencia con la frecuencia de excitación a atenuar..

tan:

ωₐ ≈ ω_Excª

Cuando se cumple esta condición, la masa auxiliar entra en una condición de movimiento particularmente efectiva para generar una fuerza dinámica opuesta a la masa principal.

Principio de absorción dinámica	Fotografía de un absorbente dinámico aplicado a una tubería para reducir vibraciones

Figura 5 – El absorbente dinámico

8. Cómo se produce la reducción de vibraciones?

Considere una estructura sometida a una fuerza periódica.:

F(t) = F₀ pecado(ωt)

Sin absorbente, la respuesta de la estructura puede presentar una gran amplitud cuando:

ω ≈ ωₙ

Al instalar un amortiguador sintonizado, Se introduce una segunda frecuencia natural en el sistema..

En lugar de una única región de resonancia dominante, el sistema ahora presenta dos frecuencias naturales cercanas a la frecuencia de sintonización del amortiguador.

Entre estas dos frecuencias surge una antirresonancia., en el que el movimiento de la masa principal puede teóricamente reducirse a cero en el caso ideal, sin amortiguar y perfectamente sintonizado.

Este es uno de los resultados más importantes de la teoría del absorbente dinámico..

9. Antirresonancia

La antirresonancia es particularmente interesante porque corresponde a una frecuencia en la que la respuesta de masa principal presenta un mínimo muy pronunciado..

Físicamente, La fuerza transmitida por el absorbente tiene una componente que se opone a la fuerza de excitación..

El fenómeno se puede interpretar a través del equilibrio dinámico.:

F_excitación + F_absorbente ≈ 0

mi, consecuentemente,

x₁ ≈ 0

Aunque la masa principal tiene una amplitud muy pequeña, la masa auxiliar puede tener una amplitud relativamente alta.

Esto significa que el absorbente no elimina la energía vibratoria.. Modifica el camino a través del cual se almacena y transfiere esta energía en el sistema..

Figura 6 – La colocación del absorbente dinámico genera antiresonancia

10. Relación entre resonancia y antirresonancia

La respuesta de frecuencia de un sistema con un absorbente presenta, típicamente, la siguiente secuencia:

resonancia → anti-resonancia → resonancia

El sistema que originalmente tenía una resonancia dominante presenta ahora dos resonancias separadas por una región de respuesta muy reducida..

Esta característica a menudo se denomina división de resonancia. (división de resonancia).

El objetivo del diseño del absorbente es posicionar adecuadamente estas frecuencias y controlar la amplitud máxima de la respuesta..

Sólo la masa principal m₁, apoyado en k₁ y c₁ sobre la base fija. Como el sistema está en resonancia y no hay nada que contrarreste la excitación, m₁ oscila como amplitud muy grande — visualmente el bloque sube y baja casi hasta tocar la flecha F(t) y casi hasta el suelo.

La misma masa m₁, pero ahora con la masa auxiliar m₂ montada encima, conectado por k₂ y c₂. Bajo la misma F(t), metro₁ apenas se mueve (oscilación casi imperceptible), mientras que m₂ oscila con amplitud grande, en fase de oposición — cuando F(t) apretar, m₂sobe, y viceversa. Es esta oscilación de m₂, transmitido de nuevo a m₁ a través del resorte k₂, que genera la fuerza que cancela F(t) y mantiene la estructura principal casi quieta.

Figura 7 – El amortiguador dinámico en funcionamiento.

11. Absorbedor dinámico no amortiguado

En el modelo ideal, considera-se:

c₂ = 0

La respuesta puede presentar una antirresonancia extremadamente profunda cuando el absorbente está perfectamente sintonizado..

sin embargo, Este sistema tiene una limitación importante.: La efectividad depende en gran medida de la frecuencia de excitación..

Si la frecuencia de la máquina se aleja de la frecuencia de sintonización:

ω_Excª ≠ ωₐ

la eficiencia del absorbente disminuye.

consecuentemente, un absorbente no amortiguado es particularmente adecuado para aplicaciones en las que la frecuencia de excitación es prácticamente constante.

12. Absorbedor dinámico amortiguado

En la práctica, se puede introducir un amortiguador:

c₂ > 0

La amortiguación cambia la respuesta del sistema y reduce la sensibilidad del absorbente a las variaciones en la frecuencia de excitación..

Hay, sin embargo, un compromiso de proyecto.

• Una amortiguación demasiado baja produce una región de alta eficiencia muy estrecha.
• Una amortiguación excesiva puede reducir la profundidad de la antirresonancia..

El proyecto debe, por lo tanto, buscar un valor de amortiguación que le permita obtener una reducción adecuada de la respuesta en una banda de frecuencia determinada.

Figura 8 – La influencia de la amortiguación dinámica del amortiguador.

12.1 Ajuste y amortiguación óptimos (método de punto fijo)

Para un absorbente amortiguado (c₂ > 0) montado sobre un bastidor principal no amortiguado (c₁ = 0), la teoría clásica de los absorbentes dinámicos, desarrollada por J.. PAG. Den Hartog: muestra que existe una combinación óptima entre la relación de sintonización y la relación de amortiguación del amortiguador que minimiza la amplitud máxima de la masa principal., para una relación de masa dada μ = m₂/m₁.

La relación de sintonización óptima es:

f_opt = ωₐ/ωₙ = 1 / (1 + metro)

o sea, el absorbente debe desafinarse ligeramente a una frecuencia justo por debajo de ωₙ. La relación de amortiguación óptima correspondiente es:

g₂,optar = √[ 3metro / (8(1+metro)³) ]

y la amplitud máxima adimensional que aún alcanza la masa principal, en los dos picos restantes, es:

(X₁k₁/F₀)_máx = √(1 + 2/metro)

Estas expresiones definen el llamado “puntos fijos” respuesta de frecuencia: dos puntos en la curva de amplitud que, por propiedad de la función de transferencia, siempre tiene la misma amplitud, cualquiera que sea el valor de ζ₂. La amortiguación óptima es precisamente aquella que hace que estos dos puntos fijos coincidan con los dos máximos locales de la curva de respuesta: la condición ilustrada en el panel C. (“gran amortiguación”) de la figura 8.

Tenga en cuenta que estas fórmulas suponen c₁ = 0; en sistemas con importante amortiguamiento estructural en la masa principal, los valores óptimos deben obtenerse mediante optimización numérica.

13. relación de masa

Un parámetro importante en el diseño de un absorbente es la relación de masas.:

μ = m₂/m₁

Cuanto mayor sea la masa auxiliar en relación con la masa principal, Cuanto mayor tiende a ser la capacidad del absorbente para modificar la respuesta dinámica del sistema.

sin embargo, aumentar m₂ implica sanciones masivas, espacio, estructura de soporte y costos.

Por eso, En la ingeniería práctica, el objetivo es obtener la mayor reducción posible utilizando una masa auxiliar compatible con las restricciones físicas de la aplicación..

Figura 9 – La influencia de la relación de masas sobre la amplitud de vibración. (m=m₂/metro₁) del absorbente dinámico

14. Ajuste del amortiguador

La condición básica de sintonización es:

ωₐ = √(k₂/m₂)

Si se conoce la frecuencia de excitación deseada:

ω_Excª = 2π f_Excª

Entonces la rigidez se puede seleccionar usando:

k₂ = m₂ω_Excª²

Esta ecuación muestra que, masa auxiliar elegida, la rigidez requerida se puede calcular directamente.

15. Interpretación energética

Una forma particularmente útil de entender el absorbente dinámico es analizar la energía.

1. La fuerza de excitación introduce energía en el sistema..
2. Sin absorbente, Una parte importante de esta energía puede almacenarse y disiparse a través de la dinámica de la estructura principal., lo que lleva a grandes amplitudes de vibración.
3. Con el absorbente instalado, parte de la energía se transfiere a la masa auxiliar.
4. El sistema pasa a distribuir energía entre m2 y m2.
5. La masa auxiliar puede presentar grandes movimientos., mientras que la masa principal permanece con amplitud reducida.

tan, El absorbente funciona como un depósito dinámico de energía vibratoria..

16. Limitaciones del absorbente dinámico

A pesar de su alta efectividad, Un absorbente dinámico convencional tiene algunas limitaciones..

• Dependencia de la frecuencia: un absorbente sintonizado a una determinada frecuencia puede perder eficacia cuando la velocidad de la máquina varía significativamente.
• Grandes amplitudes de masa auxiliar: en la región de sintonización, la masa auxiliar puede presentar amplitudes mayores que las de la estructura principal. Es necesario asegurarse de que haya suficiente espacio físico para su movimiento..
• Cambiando las frecuencias naturales: La instalación del amortiguador modifica las características dinámicas del sistema original..
• Sensibilidad a la temperatura y envejecimiento.: en sistemas que utilizan elementos elastoméricos u otros componentes cuya rigidez varía con la temperatura, la frecuencia de sintonización puede cambiar.
• Necesidad de mantenimiento: elementos mecanicos, ballestas, Los amortiguadores y los componentes de conexión pueden desgastarse..

17. Absorsores de banda larga

Cuando la máquina opera en un rango significativo de velocidades, un absorbente de frecuencia fija puede no ser suficiente.

En estas situaciones, puede utilizar:

• absorbentes amortiguados;
• múltiples absorbentes;
• absorbentes de masa sintonizados;
• amortiguadores pendulares;
• absorsores adaptativos;
• absorsores semiativos;
• absorbentes de frecuencia variable.

El uso de varios absorbentes permite distribuir la acción de control en diferentes frecuencias..

18. Absorsores adaptativos

Nos sistemas modernos, El absorbente puede tener una frecuencia de sintonización variable..

Si la frecuencia de excitación de la máquina varía de f₁ a f₂, El sistema de control puede modificar la rigidez efectiva u otras propiedades del absorbente para mantener.:

fₐ ≈ fexc

Este enfoque es particularmente interesante en máquinas de velocidad variable..

Se puede utilizar en sistemas en los que la frecuencia de excitación dominante sigue la velocidad de rotación..

19. Ejemplo conceptual

Considere una tubería con: metro₁ = 1000 kilos

y una frecuencia de excitación: fexc = 20 hz

Está previsto utilizar un absorbente con: m₂ = 50 kilos

La frecuencia angular de excitación es:

ω_Excª = 2p(20) ≈ 125,66 rad/s

Para una sintonización óptima:

k₂ = m₂ω_Excª²

resultando en aproximadamente:

k₂ = 50(125,66)² ≈ 790 kN/m

El absorbente tiene, así, una frecuencia natural cercana a la 20 hz.

Este ejemplo resalta una característica importante: una masa auxiliar relativamente pequeña puede modificar significativamente la respuesta dinámica de la estructura principal cuando está correctamente sintonizada.

19.1 Extensión de ejemplo: amortiguación óptima del amortiguador

Continuando con el ejemplo anterior, la relación de masa es μ = m₂/m₁ = 50/1000 = 0,05 (5%). Aplicando las fórmulas de la sección 12.1:

f_opt = 1/(1+0,05) ≈ 0,952

g₂,optar = √[3(0,05) / (8(1,05)³)] ≈ 0,127 (12,7%)

Tomando ωₐ ≈ ωexc = 125,66 rad/s (la sintonía nominal calculada en la sección 19), la correspondiente amortiguación óptima del absorbente es aproximadamente:

c₂,ocho = 2ζ₂,optar por m₂ωₐ ≈ 2(0,127)(50)(125,66) ≈ 1,60 kN·s/m

y la amplitud máxima adimensional que la masa principal aún presentaría en los dos picos de la respuesta óptima sería:

(X₁k₁/F₀)_máx = √(1 + 2/0,05) = √41 ≈ 6,40

Este resultado es revelador: el absorbente no amortiguado (sección 11) puede cancelar x₁ exactamente en la frecuencia de sintonización, pero esta antirresonancia es “afilado” y frágil a cualquier desviación de ω_Excª. El absorbente óptimamente amortiguado intercambia este cero perfecto por un comportamiento mucho más robusto: la amplitud máxima se limita a aproximadamente 6,4 veces la deflexión estática en todo el rango de frecuencia relevante, y no solo en un solo punto.

20. Amortiguador dinámico versus mayor rigidez

Una cuestión importante en el proyecto es si es preferible aumentar la rigidez de la estructura o instalar un absorbente..

El aumento de la rigidez cambia la frecuencia natural.:

ωₙ = √(km/m)

y puede cambiar la resonancia fuera de la zona de operación.

Un absorbente, por otro lado, busca controlar la respuesta sin necesariamente alterar drásticamente la estructura principal.

tan:

• Mayor rigidez: cambiar la resonancia.
• Absorbedor dinámico: controlar la respuesta en la región de interés.

En muchos casos, La segunda solución puede ser más sencilla y económicamente más favorable..

21. Amortiguador dinámico versus mayor amortiguación

Otra estrategia es aumentar la amortiguación de la estructura..

La amortiguación reduce la amplitud de resonancia., pero puede requerir materiales, dispositivos significativos o cambios estructurales.

El amortiguador dinámico utiliza otro mecanismo.:

transferencia de energía + interferencia dinámica

el puede, por lo tanto, producir una reducción muy alta de la vibración a una frecuencia específica.

La elección entre amortiguación estructural y absorción dinámica depende del ancho de banda requerido, frecuencia de funcionamiento, espacio disponible, Masa permitida y estabilidad de las condiciones de funcionamiento..

Una tercera alternativa, no desarrollado en detalle en este artículo, es aislamiento de vibraciones: en lugar de modificar la respuesta dinámica de la propia estructura, se interpone un elemento resistente (resorte y/o amortiguador) entre la máquina y la base, reduciendo la fuerza transmitida al exterior. A diferencia del amortiguador dinámico, que actúa sobre la amplitud de vibración de la propia masa principal,, El aislamiento actúa sobre la transmisibilidad de la fuerza a la estructura de soporte.. Las dos estrategias son complementarias., y no competidores: En muchas aplicaciones prácticas se utilizan juntos..

22. Sistemas mecánicos con 2 Grados de libertad y el absorbente dinámico – conclusión

Los sistemas mecánicos con dos grados de libertad constituyen uno de los modelos fundamentales de dinámica estructural y análisis de vibraciones.. La introducción de una segunda masa nos permite comprender fenómenos como el acoplamiento modal, transferencia de energía, división de resonancias y antirresonancias.

El absorbente dinámico constituye una aplicación directa de estos principios.. Introduciendo una masa auxiliar, un resorte y, cuando necesario, un amortiguador, Es posible modificar deliberadamente la respuesta dinámica de una máquina o estructura..

La idea central no es simplemente “eliminar” la fuerza de excitación, pero crear dinámicas adicionales capaces de generar una respuesta que se oponga a la vibración de la estructura principal..

En condiciones de sintonización adecuada, la amplitud de la masa principal se puede reducir drásticamente, incluso cuando la fuerza de excitación permanece prácticamente sin cambios.

tan, El estudio de sistemas con dos grados de libertad no es sólo un paso académico en la teoría de las vibraciones.: constituye una herramienta práctica para diseñar, diagnosticar y controlar sistemas mecánicos reales, establecer el vínculo entre el análisis modal y las técnicas modernas de control de vibraciones pasivas y adaptativas.

Resumen de fórmula

Grandeza	Fórmula
Frecuencia natural (1 GDL)	ωₙ = √(k₁/m₁)
Frecuencia natural del absorbente.	ωₐ = √(k₂/m₂)
condición de sintonización	ωₐ ≈ ωexc ⇒ k₂ = m₂ωexc²
relación de masa	μ = m₂/m₁
Relación de sintonización óptima	f_opt = ωₐ/ωₙ = 1/(1+metro)
Amortiguación óptima del amortiguador	g₂,optar = √[3metro / (8(1+metro)³)]
Amplitude máxima (excelente)	(X₁k₁/F₀)_máx = √(1+2/metro)
Frecuencias propias (2 GDL)	el(K − ω²M) = 0 → ω₁, ω₂

referencias

El Hartog, J. PAG. (1956). Vibraciones mecánicas (4.ª ed.). McGraw-Hill.

rao, S. S. (2011). Vibraciones mecánicas (5.ª ed.). Prentice Hall.

inman, D. J. (2014). Vibración de ingeniería (4.ª ed.). pearson.

kelly, S. GRAMO. (2012). Vibraciones mecánicas: Teoría y aplicaciones. Aprendizaje Cengage.