Absorsor Dinâmico

Este artigo trata do tema de Sistemas Mecânicos com 2 Graus de Liberdade e o Absorsor Dinâmico. A compreensão deste assunto é essencial para os técnicos que se dedicam Vibration Analysis.

1. Introduction

Os sistemas mecânicos com dois graus de liberdade constituem uma extensão fundamental dos sistemas de um grau de liberdade e permitem compreender fenómenos dinâmicos que não podem ser adequadamente descritos considerando apenas uma massa e um movimento independente. A introdução de uma segunda massa, ligada à primeira através de elementos elásticos e/ou dissipativos, origina fenómenos de acoplamento, modos próprios de vibração, anti-ressonâncias e transferência de energia entre os diferentes componentes do sistema.

Uma das aplicações mais importantes deste conceito é o absorsor dinâmico de vibrações, ou absorsor de vibração sintonizado. Este dispositivo utiliza uma massa auxiliar, normalmente ligada à estrutura principal através de uma mola e, em algumas configurações, de um amortecedor, para reduzir significativamente a vibração de um sistema submetido a uma excitação periódica.

O princípio é particularmente importante em estruturas, equipamentos industriais e sistemas sujeitos a forças periódicas. Em vez de tentar aumentar indefinidamente a rigidez ou o amortecimento da estrutura principal, o absorsor dinâmico introduz deliberadamente uma segunda dinâmica no sistema, de forma a controlar a resposta vibratória.

Nomenclatura

A tabela seguinte resume os símbolos utilizados ao longo deste artigo.

Símbolo	Significado
m₁	Massa da estrutura/máquina principal
m₂	Massa auxiliar do absorsor dinâmico
k₁, c₁	Rigidez e amortecimento entre a base fixa e m₁
k₂, c₂	Rigidez e amortecimento entre m₁ e m₂ (absorsor)
x₁(t), x₂(t)	Deslocamentos instantâneos de m₁ e m₂
F(t), F₀	Força de excitação aplicada a m₁, e respetiva amplitude
ω	Frequência angular de excitação
ωₙ	Frequência natural do sistema de 1 GDL, √(k₁/m₁)
ωₐ	Frequência natural do absorsor, √(k₂/m₂)
ω₁, ω₂	natural frequencies (own modes) do sistema de 2 GDL, com ω₁ < ω₂
μ	Razão de massas, m₂/m₁
ζ₂	Razão de amortecimento do absorsor
r	Razão de frequências, ω/ωₙ ou ω/ωₐ, consoante o contexto

2. Sistema mecânico de um grau de liberdade

Antes de analisar o sistema de dois graus de liberdade, considere-se uma massa m₁, ligada a uma mola de rigidez k₁ e a um amortecedor c₁, submetida a uma força harmónica:

F(t) = F₀ sin(ωt)

A equação de movimento é:

m₁ ẍ₁ + c₁ ẋ₁ + k₁ x₁ = F₀ sin(ωt)

Na ausência de amortecimento, a frequência natural do sistema é:

ωₙ = √(k₁/m₁)

Quando a frequência de excitação se aproxima de ωₙ, ocorre o fenómeno de resonance, caracterizado por um aumento significativo da amplitude de vibração.

Este comportamento constitui o problema que o absorsor dinâmico procura resolver.

Figure 1 – Sistema mecânico de 1 grau de liberdade e respetiva resposta em frequência

3. Introdução do segundo grau de liberdade

Considere-se agora uma segunda massa m₂, ligada à massa principal m₁ através de uma mola k₂ e de um amortecedor c₂.

O sistema passa a possuir dois deslocamentos independentes:

x₁(t) e x₂(t)

correspondentes aos movimentos das massas m₁ e m₂.

A configuração básica pode ser representada por:

Base – (k₁,c₁) – m₁ – (k₂,c₂) – m₂

A massa m₁ representa a estrutura ou máquina principal, enquanto m₂ constitui a massa auxiliar do absorsor.

As equações diferenciais do movimento são:

m₁ẍ₁ + c₁ẋ₁ + k₁x₁ + c₂(ẋ₁−ẋ₂) + k₂(x₁−x₂) = F₀ sin(ωt)

m₂ẍ₂ + c₂(ẋ₂−ẋ₁) + k₂(x₂−x₁) = 0

Estas duas equações mostram uma característica essencial: os movimentos das duas massas estão acoplados.

O movimento da massa principal influencia a massa auxiliar e, simultaneously, a massa auxiliar exerce uma força dinâmica sobre a massa principal.

Figure 2 – Sistema mecânico de 2 graus de liberdade e respetiva resposta em frequência

4. Matriz de massa, amortecimento e rigidez

A formulação matricial permite representar o sistema de forma compacta:

M ẍ + C ẋ + K x = F(t)

com:

x = [x₁ x₂]ᵀ

M = [[m₁, 0], [0, m₂]]

C = [[c₁+c₂, −c₂], [−c₂, c₂]]

K = [[k₁+k₂, −k₂], [−k₂, k₂]]

A representação matricial é particularmente importante porque constitui a base da análise modal de sistemas mecânicos com múltiplos graus de liberdade.

5. Modos próprios de vibração

Um sistema com dois graus de liberdade possui, in general, duas frequências naturais e dois modos próprios de vibração.

Na ausência de amortecimento e de forças externas:

M ẍ + Kx = 0

Assumindo uma solução harmónica:

x = φe^(jωt)

obtém-se:

(K − ω²M)φ = 0

Para existir uma solução não trivial:

det(K − ω²M) = 0

Esta equação fornece duas frequências naturais:

ω₁ e ω₂

com:

ω₁ < ω₂

Cada frequência está associada a um modo próprio e a uma forma específica de movimento relativo entre as duas massas.

Cada modo próprio corresponde a um vetor próprio (razão fixa entre as amplitudes x₁/x₂) e a uma frequência própria (valor próprio) of the system. Qualquer vibração livre do sistema, por mais complexa que pareça, pode ser escrita como uma combinação linear destes dois modos.

Modo 1 — simétrico (em fase), ω₁ (frequência mais baixa) As setas por cima de m₁ e m₂ apontam no mesmo sentido e têm o mesmo comprimento: as duas massas oscilam em uníssono, com a mesma amplitude e a mesma fase. Como a mola central k₂ praticamente não se deforma (a distância entre m₁ e m₂ mantém-se quase constante), este modo tem a frequência natural mais baixa.

Modo 2 — antissimétrico (oposição de fase), ω₂ (frequência mais alta) As setas apontam em sentidos opostos: quando m₁ se move para um lado, m₂ move-se para o lado contrário. Aqui a mola de acoplamento k₂ é a que mais se deforma, what “endurece” o modo e resulta numa frequência natural mais alta.

Figure 3 — Modos próprios de um sistema com 2 GDL

6. Acoplamento dinâmico

O aspeto fundamental de um sistema de dois graus de liberdade é o acoplamento dinâmico.

Quando a massa principal começa a vibrar, a massa auxiliar não permanece necessariamente estacionária. On the contrary, desenvolve um movimento próprio determinado pela frequência de excitação e pelas características de m₂, k₂ e c₂.

A energia vibratória pode, therefore, ser transferida da massa principal para a massa auxiliar.

Este fenómeno constitui a base física do absorsor dinâmico.

Em determinadas condições, a massa auxiliar pode desenvolver uma força dinâmica sobre a massa principal que se opõe à força de excitação. O resultado pode ser uma redução muito significativa da amplitude de vibração da estrutura principal.

Figure 4 – Acoplamento dinâmico num sistema com 2GL

O sistema acoplado
A massa principal m₁, apoiada em k₁ e c₁ sobre um apoio fixo, sujeita à força de excitação externa F(t). Sobre m₁ está montada a massa auxiliar m₂, ligada por k₂ e c₂ — os três parâmetros que, determinam “o movimento próprio” que m₂ desenvolve quando m₁ começa a vibrar. Duas anotações traduzem diretamente as ideias-chave do texto: One seta curva a roxo, tracejada, sai do interior de m₁ e entra em m₂, rotulada “transferência de energia vibratória” — representa a energia que passa da massa principal para a auxiliar através do acoplamento k₂/c₂. A seta F₂ (red), no topo de m₁, aponta em sentido oposto a F(t) (laranja) — representa a força dinâmica que m₂ desenvolve sobre m₁, “que se opõe à força de excitação”, como diz o texto.

A consequência prática
Um gráfico de amplitude X₁ em função da frequência ω compara duas situações: A curva cinzenta tracejada (“sem absorsor”) mostra um único pico de ressonância alto — o comportamento da massa principal isolada, sem m₂. A curva verde sólida (“com absorsor”) mostra a mesma faixa de frequências, mas com dois picos mais baixos e um vale profundo exatamente em ω = ω₂ (a frequência de sintonia do absorsor) — a assinatura clássica do acoplamento dinâmico funcionando: nessa zona, a amplitude de m₁ cai drasticamente.

7. O absorsor dinâmico

Um absorsor dinâmico convencional é constituído por:

• uma massa auxiliar m₂;
• uma mola k₂;
• eventualmente um amortecedor c₂.

A sua frequência natural própria é aproximadamente:

ωₐ = √(k₂/m₂)

O princípio de funcionamento consiste em sintonizar esta frequência com a frequência de excitação que se pretende atenuar.

Like this:

ωₐ ≈ ω_exc

Quando esta condição é satisfeita, a massa auxiliar entra numa condição de movimento particularmente eficaz para gerar uma força dinâmica de oposição sobre a massa principal.

Princípio do absorsor dinâmico	Fotografia de um absorsor dinâmico aplicado numa tubagem para reduzir vibrações

Figure 5 – O absorsor dinâmico

8. Como ocorre a redução da vibração?

Considere-se uma estrutura sujeita a uma força periódica:

F(t) = F₀ sin(ωt)

Sem absorsor, a resposta da estrutura pode apresentar uma grande amplitude quando:

ω ≈ ωₙ

Ao instalar um absorsor sintonizado, introduz-se uma segunda frequência natural no sistema.

Em vez de existir uma única região de ressonância dominante, o sistema passa a apresentar duas frequências naturais próximas da frequência de sintonia do absorsor.

Entre estas duas frequências surge uma anti-ressonância, na qual o movimento da massa principal pode ser teoricamente reduzido a zero no caso ideal não amortecido e com sintonia perfeita.

Este é um dos resultados mais importantes da teoria dos absorsores dinâmicos.

9. Anti-ressonância

A anti-ressonância é particularmente interessante porque corresponde a uma frequência na qual a resposta da massa principal apresenta um mínimo muito pronunciado.

Physically, a força transmitida pelo absorsor apresenta uma componente que se opõe à força de excitação.

Pode interpretar-se o fenómeno através do equilíbrio dinâmico:

F_excitação + F_absorsor ≈ 0

e, consequently,

x₁ ≈ 0

Embora a massa principal apresente uma amplitude muito pequena, a massa auxiliar pode apresentar uma amplitude relativamente elevada.

Isto significa que o absorsor não elimina a energia vibratória. Ele modifica o caminho através do qual essa energia é armazenada e transferida no sistema.

Figure 6 – A colocação do absorsor dinâmico gera uma anti-ressonância

10. Relação entre ressonância e anti-ressonância

A resposta em frequência de um sistema com absorsor apresenta, typically, a seguinte sequência:

ressonância → anti-ressonância → ressonância

O sistema que originalmente possuía uma ressonância dominante passa a apresentar duas ressonâncias separadas por uma região de resposta muito reduzida.

Esta característica é frequentemente designada por divisão da ressonância (resonance splitting).

O objetivo do projeto do absorsor é posicionar adequadamente estas frequências e controlar a amplitude máxima da resposta.

Apenas a massa principal m₁, apoiada em k₁ e c₁ sobre a base fixa. Como o sistema está em ressonância e não há nada a contrariar a excitação, m₁ oscila com amplitude muito grande — visualmente o bloco sobe e desce quase até tocar a seta F(t) e quase até ao chão.

A mesma massa m₁, mas agora com a massa auxiliar m₂ montada por cima, ligada por k₂ e c₂. Sob a mesma F(t), m₁ mal se mexe (oscilação quase impercetível), enquanto m₂ oscila com amplitude grande, in phase opposition — quando F(t) empurra para baixo, m₂ sobe, e vice-versa. É essa oscilação de m₂, transmitida de volta a m₁ através da mola k₂, que gera a força que cancela F(t) e mantém a estrutura principal quase parada.

Figure 7 – O absorsor dinâmico em funcionamento

11. Absorsor dinâmico não amortecido

No modelo ideal, considera-se:

c₂ = 0

A resposta pode apresentar uma anti-ressonância extremamente profunda quando o absorsor está perfeitamente sintonizado.

Yet, este sistema apresenta uma limitação importante: a eficácia é muito dependente da frequência de excitação.

Se a frequência da máquina se afastar da frequência de sintonia:

ω_exc ≠ ωₐ

a eficiência do absorsor diminui.

Consequently, um absorsor não amortecido é particularmente adequado para aplicações nas quais a frequência de excitação é praticamente constante.

12. Absorsor dinâmico amortecido

In practice, pode introduzir-se um amortecedor:

c₂ > 0

O amortecimento altera a resposta do sistema e reduz a sensibilidade do absorsor a variações da frequência de excitação.

Existe, Yet, um compromisso de projeto.

• Um amortecimento demasiado baixo produz uma região de elevada eficácia muito estreita.
• Um amortecimento excessivo pode reduzir a profundidade da anti-ressonância.

O projeto deve, therefore, procurar um valor de amortecimento que permita obter uma redução adequada da resposta numa determinada banda de frequências.

Figure 8 – A influência do amortecimento do absorsor dinâmico

12.1 Sintonia e amortecimento ótimos (método dos pontos fixos)

Para um absorsor amortecido (c₂ > 0) montado sobre uma estrutura principal não amortecida (c₁ = 0), a teoria clássica dos absorsores dinâmicos — desenvolvida por J. P. Den Hartog — mostra que existe uma combinação ótima entre a razão de sintonia e a razão de amortecimento do absorsor que minimiza a amplitude máxima da massa principal, para uma dada razão de massas μ = m₂/m₁.

A razão de sintonia ótima é:

f_opt = ωₐ/ωₙ = 1 / (1 + μ)

that is, o absorsor deve ser ligeiramente dessintonizado para uma frequência um pouco abaixo de ωₙ. A razão de amortecimento ótima correspondente é:

ζ₂,opt = √[ 3μ / (8(1+μ)³) ]

e a amplitude adimensional máxima que a massa principal ainda assim atinge, nos dois picos que restam, is:

(X₁k₁/F₀)_max = √(1 + 2/μ)

Estas expressões definem os chamados “pontos fixos” da resposta em frequência: dois pontos da curva de amplitude que, por propriedade da função de transferência, têm sempre a mesma amplitude, qualquer que seja o valor de ζ₂. O amortecimento ótimo é precisamente aquele que faz esses dois pontos fixos coincidirem com os dois máximos locais da curva de resposta — a condição ilustrada no painel C (“amortecimento ótimo”) from Figure 8.

Note-se que estas fórmulas assumem c₁ = 0; em sistemas com amortecimento estrutural significativo na massa principal, os valores ótimos devem ser obtidos por otimização numérica.

13. Razão de massas

Um parâmetro importante no projeto de um absorsor é a razão de massas:

μ = m₂/m₁

Quanto maior for a massa auxiliar relativamente à massa principal, maior tende a ser a capacidade do absorsor para modificar a resposta dinâmica do sistema.

Yet, aumentar m₂ implica penalizações de massa, space, estrutura de suporte e custos.

Therefore, na engenharia prática procura-se obter a maior redução possível utilizando uma massa auxiliar compatível com as restrições físicas da aplicação.

Figure 9 – A influência na amplitude da vibração da razão de massas (µ=m₂/m₁) do absorsor dinâmico

14. Sintonia do absorsor

A condição básica de sintonia é:

ωₐ = √(k₂/m₂)

Se a frequência de excitação pretendida for conhecida:

ω_exc = 2π f_exc

então pode selecionar-se a rigidez através de:

k₂ = m₂ω_exc²

Esta equação mostra que, escolhida a massa auxiliar, a rigidez necessária pode ser calculada diretamente.

15. Interpretação energética

Uma forma particularmente útil de compreender o absorsor dinâmico consiste em analisar a energia.

1. A força de excitação introduz energia no sistema.
2. Sem absorsor, uma parte significativa dessa energia pode ser armazenada e dissipada através da dinâmica da estrutura principal, conduzindo a grandes amplitudes de vibração.
3. Com o absorsor instalado, parte da energia é transferida para a massa auxiliar.
4. O sistema passa a distribuir a energia entre m₁ e m₂.
5. A massa auxiliar pode apresentar grandes movimentos, enquanto a massa principal permanece com amplitude reduzida.

Like this, o absorsor funciona como um reservatório dinâmico de energia vibratória.

16. Limitações do absorsor dinâmico

Apesar da sua elevada eficácia, um absorsor dinâmico convencional apresenta algumas limitações.

• Dependência da frequência: um absorsor sintonizado para uma determinada frequência pode perder eficácia quando a velocidade da máquina varia significativamente.
• Grandes amplitudes da massa auxiliar: na região de sintonia, a massa auxiliar pode apresentar amplitudes superiores às da estrutura principal. É necessário garantir que existe espaço físico suficiente para o seu movimento.
• Alteração das frequências naturais: a instalação do absorsor modifica as características dinâmicas do sistema original.
• Sensibilidade à temperatura e envelhecimento: em sistemas que utilizam elementos elastoméricos ou outros componentes cuja rigidez varia com a temperatura, a frequência de sintonia pode deslocar-se.
• Necessidade de manutenção: elementos mecânicos, molas, amortecedores e componentes de ligação podem sofrer desgaste.

17. Absorsores de banda larga

Quando a máquina funciona numa gama significativa de velocidades, um absorsor de frequência fixa pode não ser suficiente.

Nestas situações podem utilizar-se:

• absorsores amortecidos;
• múltiplos absorsores;
• absorsores de massa sintonizada;
• absorsores pendulares;
• absorsores adaptativos;
• absorsores semiativos;
• absorsores com frequência variável.

A utilização de vários absorsores permite distribuir a ação de controlo por diferentes frequências.

18. Absorsores adaptativos

Nos sistemas modernos, o absorsor pode ter uma frequência de sintonia variável.

Se a frequência de excitação da máquina variar de f₁ para f₂, o sistema de controlo pode modificar a rigidez efetiva ou outras propriedades do absorsor para manter:

fₐ ≈ fexc

Esta abordagem é particularmente interessante em máquinas de velocidade variável.

Pode ser utilizada em sistemas nos quais a frequência dominante de excitação acompanha a velocidade de rotação.

19. Exemplo conceptual

Considere-se uma tubagem com: m₁ = 1000 kg

e uma frequência de excitação: fexc = 20 Hz

Pretende-se utilizar um absorsor com: m₂ = 50 kg

A frequência angular de excitação é:

ω_exc = 2π(20) ≈ 125,66 rad/s

Para sintonia ideal:

k₂ = m₂ω_exc²

resultando aproximadamente:

k₂ = 50(125,66)² ≈ 790 kN/m

O absorsor possui, like this, uma frequência natural próxima dos 20 Hz.

Este exemplo evidencia uma característica importante: uma massa auxiliar relativamente pequena pode modificar significativamente a resposta dinâmica da estrutura principal quando está corretamente sintonizada.

19.1 Extensão do exemplo: amortecimento ótimo do absorsor

Continuando o exemplo anterior, a razão de massas é μ = m₂/m₁ = 50/1000 = 0,05 (5%). Aplicando as fórmulas da secção 12.1:

f_opt = 1/(1+0,05) ≈ 0,952

ζ₂,opt = √[3(0,05) / (8(1,05)³)] ≈ 0,127 (12,7%)

Tomando ωₐ ≈ ωexc = 125,66 rad/s (a sintonia nominal calculada na secção 19), o amortecimento ótimo correspondente do absorsor é aproximadamente:

c₂,opt = 2ζ₂,opt m₂ωₐ ≈ 2(0,127)(50)(125,66) ≈ 1,60 kN·s/m

e a amplitude adimensional máxima que a massa principal ainda apresentaria nos dois picos da resposta ótima seria:

(X₁k₁/F₀)_max = √(1 + 2/0,05) = √41 ≈ 6,40

Este resultado é revelador: o absorsor não amortecido (section 11) pode anular x₁ exatamente na frequência de sintonia, mas essa anti-ressonância é “afiada” e frágil a qualquer desvio de ω_exc. O absorsor com amortecimento ótimo troca esse zero perfeito por um comportamento muito mais robusto — a amplitude máxima fica limitada a cerca de 6,4 vezes a deflexão estática em toda a gama de frequências relevante, e não apenas num único ponto.

20. Absorsor dinâmico versus aumento da rigidez

Uma questão importante no projeto é saber se é preferível aumentar a rigidez da estrutura ou instalar um absorsor.

Aumentar a rigidez altera a frequência natural:

ωₙ = √(k/m)

e pode deslocar a ressonância para fora da zona de operação.

O absorsor, on the other hand, procura controlar a resposta sem necessariamente alterar drasticamente a estrutura principal.

Like this:

• Aumento da rigidez: deslocar a ressonância.
• Absorsor dinâmico: controlar a resposta na região de interesse.

In so many cases, a segunda solução pode ser mais simples e economicamente mais favorável.

21. Absorsor dinâmico versus aumento do amortecimento

Outra estratégia consiste em aumentar o amortecimento da estrutura.

O amortecimento reduz a amplitude da ressonância, mas pode exigir materiais, dispositivos ou alterações estruturais significativas.

O absorsor dinâmico utiliza outro mecanismo:

transferência de energia + interferência dinâmica

Pode, therefore, produzir uma redução muito elevada da vibração numa frequência específica.

A escolha entre amortecimento estrutural e absorção dinâmica depende da largura de banda necessária, frequência de operação, espaço disponível, massa admissível e estabilidade das condições de operação.

Uma terceira alternativa, não desenvolvida em detalhe neste artigo, é o isolamento de vibração: em vez de modificar a resposta dinâmica da própria estrutura, interpõe-se um elemento resiliente (mola e/ou amortecedor) entre a máquina e a fundação, reduzindo a força transmitida ao exterior. Ao contrário do absorsor dinâmico — que atua sobre a amplitude de vibração da própria massa principal —, o isolamento atua sobre a transmissibilidade da força para a estrutura de suporte. As duas estratégias são complementares, e não concorrentes: em muitas aplicações práticas são utilizadas em conjunto.

22. Sistemas Mecânicos com 2 Graus de Liberdade e o Absorsor Dinâmico – Conclusion

Os sistemas mecânicos com dois graus de liberdade constituem um dos modelos fundamentais da dinâmica estrutural e da análise de vibrações. A introdução de uma segunda massa permite compreender fenómenos como acoplamento modal, transferência de energia, divisão de ressonâncias e anti-ressonâncias.

O absorsor dinâmico constitui uma aplicação direta destes princípios. Através da introdução de uma massa auxiliar, uma mola e, when necessary, um amortecedor, é possível modificar deliberadamente a resposta dinâmica de uma máquina ou estrutura.

A ideia central não é simplesmente “eliminar” a força de excitação, mas criar uma dinâmica adicional capaz de gerar uma resposta que se oponha à vibração da estrutura principal.

Em condições de sintonia adequada, a amplitude da massa principal pode ser drasticamente reduzida, mesmo quando a força de excitação permanece praticamente inalterada.

Like this, o estudo dos sistemas de dois graus de liberdade não é apenas uma etapa académica da teoria das vibrações: constitui uma ferramenta prática para projetar, diagnosticar e controlar sistemas mecânicos reais, estabelecendo a ligação entre a análise modal e as modernas técnicas de controlo passivo e adaptativo de vibrações.

Resumo de fórmulas

Greatness	Fórmula
Frequência natural (1 GDL)	ωₙ = √(k₁/m₁)
Frequência natural do absorsor	ωₐ = √(k₂/m₂)
Condição de sintonia	ωₐ ≈ ωexc ⇒ k₂ = m₂ωexc²
Razão de massas	μ = m₂/m₁
Razão de sintonia ótima	f_opt = ωₐ/ωₙ = 1/(1+μ)
Amortecimento ótimo do absorsor	ζ₂,opt = √[3μ / (8(1+μ)³)]
maximum amplitude (ótima)	(X₁k₁/F₀)_max = √(1+2/μ)
Frequências próprias (2 GDL)	det(K − ω²M) = 0 → ω₁, ω₂

References

Den Hartog, J. P. (1956). Mechanical Vibrations (4.ª ed.). McGraw-Hill.

Rao, S. S. (2011). Mechanical Vibrations (5.ª ed.). Prentice Hall.

Inman, D. J. (2014). Engineering Vibration (4.ª ed.). Pearson.

Kelly, S. G. (2012). Mechanical Vibrations: Theory and Applications. Cengage Learning.